21. x²+y²+Ax+By+C=0 çemberiyle
x²+y²+Ax+By+C'=0
çemberinin aynı merkezli
olduğunu gösteriniz.
Bundan faydalanarak;
Ç: 4x²+4y²+40x-28y+5=0
çemberinin merkez koordinatlarını bulmadan aşağıda istenenleri bulunuz:
a) Ç çemberiyle aynı merkezli
ve Ox eksenine teğet olan çember denklemini bulunuz,
b) Ç çemberiyle aynı merkezli
ve Oy eksenine teğet olan çember denklemini bulunuz,
c) Ç çemberiyle aynı merkezli
ve orijinden geçen çember denklemini bulunuz,
d) Ç çemberiyle aynı merkezli
ve y=x-1 doğrusuna teğet olan çember denklemini bulunuz.
Ç: x²+y²+Ax+By+C=0 çemberiyle
x²+y²+Ax+By+C'=0
çemberinin her ikisinin de
merkez koordinatları
(-A/2), -B/2) olduğundan aynı
merkezlidir.
a) 4x²+4y²+40x-28y+5=0 Þ x²+y²+10x-7y+5/4=0
İstenen çemberin denklemi de;
x²+y²+10x-7y+C=0
biçimindedir.Bu çember Ox eksenine teğet olacağından y=0 doğrusuyla
arakesitinin çözüm kümesi bir elemanlı olmalıdır.
x²+10x+C=0ÞD=0ÞD=10²-4.1.C=0ÞC=25
O halde aranan çember;
x²+y²+10x-7y+25=0 dır.
b) İstenen çember denklemi;
x²+y²+10x-7y+C=0
biçimindedir.Bu çember Oy eksenine teğet olacağından x=0 doğrusuyla
arakesitinin çözüm kümesi bir elemanlı olmalıdır.
y²-7y+C=0ÞD=0ÞD=7²-4.1.C=0ÞC=49/4
O halde aranan çember;
x²+y²+10x-7y+49/4=0
Þ 4x²+4y²+40x-28y+49=0dır.
c) İstenen çember denklemi;
x²+y²+10x-7y+C=0
biçimindedir.Bu çember O(0, 0) noktasından geçeceğinden; denklemde x=0 ve y=0
değerleri konursa C=0 ve buradan da aranan çember denklemi de; x²+y²+10x-7y=0
bulunur.
d) İstenen çember denklemi;
x²+y²+10x-7y+C=0x²+y²+10x-7y+C=0
biçimindedir.Bu çember y=x-1 doğrusuna teğet olacağından, çember denklemiyle
y=x-1 denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı olmalıdır.
x²+(x-1)²+10x-7(x-1)+C=0Þ2x²+x+8+C=0ÞD=0
ÞD=1-4.2.(8+C)=0ÞC=-63/8 ve buradan da aranan çember denklemi de;
x²+y²+10x-7y-63/8=0
Þ 8x²+8y²+80x-56y-63=0 bulunur.
22. A(2, 4), B(7, 5) noktalarından geçen ve merkezi x+2y=9
doğrusu üzerinde bulunan çember denklemini bulunuz.
Ç:
M merkezi x+2y=9 doğrusu
üzerinde olduğundan,
M(9-2a, a) biçimindedir.½MA½²=½MB½²=R²
olduğundan,
(7-2a)²+(a-4)²=(2-2a)²+(a-5)²Þa=2ÞM(5,2), R²=13
O halde aranan çember
denklemi;
(x-5)²+(y-2)²=13 bulunur.
23. A(5, -2), B(-3, 2) noktalarından geçen ve 3x-4y=23
doğrusuna teğet olan çember denklemini bulunuz.
Ç:
[AB] nin orta C noktası C(1,
0) dır.
AB^MC Þ olur.
Buna
göre MC nin denklemi: y-0=2(x-1)
Þy=2x-2 dir.M
noktası MC doğrusu üzerinde olduğundan denklemini sağlar.M noktasının apsisi a
olsun, ordinatı da 2a-2 olur.Yani M(a, 2a-2) dir.
½MA½=½MB½=RÞ½MA½²=½MB½²=R²
Þ(a-5)²+(2a)²=(a+3)²+(2a-4)²Þ a=2ÞM(2, 2)
R=½MT½= dir.
Buna
göre aranan çember denklemi;
(x-2)²+(y-2)²=25
bulunur.
24.
Yarıçapı 3 birim olan ve merkezi 11x-8y=31 doğrusu üzerinde bulunan ve
a)
Ox eksenine teğet olan,
b)
Oy eksenine teğet olan çember denklemlerini bulunuz.
Ç:a)
½b½=R=3Þ()
Þ ( )
Buna
göre aranan çemberlerin merkezleri
ve denklemleri de
(x-5)²+(y-3)²=9
ve (x-7/11)²+(y+3)²=9 olarak bulunur.
b)
½a½=R=3Þ()
Þ ( )
Buna
göre aranan çemberlerin merkezleri
ve denklemleri de
(x-3)²+(y-1/4)²=9
ve (x+3)²+(y+8)²=9 olarak bulunur.
25. Ç: x²+y²+6x-16y=12 ile d:
6x-7y=25 doğrusu veriliyor.
a) d doğrusuna paralel
teğetlerin denklemlerini bulunuz.
b) d doğrusuna dik teğetlerin
denklemlerini bulunuz.
Ç:a)
Önce çemberin M merkezinin
koordinatlarını ve R yarıçap uzunluğunu bulalım:
M(-6/2, 16/2)ÞM(-3, 8)
dir.
½MH½=RÞ
Þ½-74+C½=85Þ(C-74=85 V C-74=-85)
ÞC=159 V C=-11
Buna göre aranan teğetler;
6x-7y+159=0 ve 6x-7y-11=0 dır.
b)
İstenen teğetler 6x-7y-25=0
doğrusuna dik olacağından, denklemi 7x+6y+C=0 biçiminde olmalıdır.
½MH½=RÞ
Þ½27+C½=85Þ(C+27=85 V C+27=-85)
ÞC=58 V C=-112
Buna göre aranan teğetler;
7x+6y+58=0 ve 7x+6y-112=0 dır.
26. x²+y²-2x+6y-6=0 çemberi
ile 3x-4y+7=0 doğrusu veriliyor.
a) Verilen doğruya paralel
teğetlerin değme noktalarını bulunuz.
b) Verilen doğruya dik
teğetlerin değme noktalarını bulunuz.
Ç:a) Önce çemberin M
merkezinin koordinatlarını ve R yarıçap uzunluğunu bulalım.
M(2/2, -6/2)ÞM(1, -3)
dür.
Verilen doğruya paralel
teğetlerin denklemleri
3x-4y+C=0
biçimindedir.Merkezin bu doğruya olan uzaklığı yarıçapı verdiğinden;
Þ½C+15½=20Þ(C=5 V C=-35)
O halde teğet denklemleri;
3x-4y+5=0 ve 3x-4y-35=0
bulunur.
Bir teğetin değme noktası T(,) olsun.Bu
noktadan çizilen teğet denklemi;
x+y-(+x)+3(+y)-6=0
Þ(-1)x+(+3)y-+3-6=0 dır.Bu denklemle bulduğumuz teğet denklemleri aynı
doğruyu göstermesi gerektiğinden, katsayıları orantılı olmalıdır.
Buradan T değme noktasının
koordinatları
T(-7/5, 1/5) bulunur.
Benzer biçimde aynı işlemleri
diğer denklem için
uygularsak;
T' değme noktasının
koordinatları
T'(17/5, -31/5) bulunur.
b) 3x-4y+7=0 doğrusunun eğimi
m=3/4 olduğundan bu doğruya dik olan doğrunun eğimi m'=-4/3 olup denklemi
4x+3y+C=0 biçimindedir.Merkezin bu doğruya olan uzaklığı yarıçapı verdiğinden;
Þ½C-5½=20Þ(C=25 V C=-15)
O halde teğet denklemleri;
4x+3y+25=0 ve 4x+3y-15=0
bulunur.
Bir teğetin değme noktası T(,) olsun.Bu
noktadan çizilen teğet denklemi;
x+y-(+x)+3(+y)-6=0
Þ(-1)x+(+3)y-+3-6=0 dır.Bu denklemle bulduğumuz teğet denklemleri aynı
doğruyu göstermesi gerektiğinden, katsayıları orantılı olmalıdır.
Buradan T değme noktasının
koordinatları
T(-11/5, -27/5) bulunur.
Benzer biçimde aynı işlemleri
diğer denklem için
uygularsak;
T' değme noktasının
koordinatları
T'(21/5, -3/5) bulunur.
27. x²+y²=13 çemberine
dışındaki P(7, 9) noktasından çizilen teğet denklemlerini ve değme noktalarını
bulunuz.
Ç:Aranan teğetin denklemi y=mx+n
olsun.
Teğet P(7, 9) noktasından
geçeceğinden denklemini sağlamalıdır.
9=7m+n ... (I)
Çemberin merkezi M(0, 0) ın
teğete olan uzaklığı R= birim olmalıdır.
Þ ½n½
Þ n²=13m²+13 ... (II)
(I) ve (II) denklemi çözülürse
(9-7m)²=13m²+13Þ36m²-126m+68=0
Þ18m²-63m+34=0Þ(6m-17)(3m-2)=0
Þ=17/6 ve =-65/6
Þ=2/3 ve =13/3
Buna göre aranan teğetlerin
denklemleri;
Þ 17x-6y-65=0
Þ 2x-3y+13=0 bulunur.
Bir teğetin değme noktası T(,) olsun.Bu
noktadan çizilen teğet denklemi;
x+y-13=0 dır.Bu denklemle bulduğumuz
17x-6y-65=0 ile 2x-3y+13=0
teğet denklemleri aynı doğruyu
göstermesi gerektiğinden, katsayıları orantılı olmalıdır.
Buna göre T ve T' değme
noktaları;
Þ= , =ÞT(17/5, -6/5)
Þ=-2 , =3ÞT'(-2, 3) olarak bulunur.
28. x²+y²=1 ve x²+y²+2x=0
çemberlerinin kesişim noktalarından geçen ve aşağıdaki şartları sağlayan çember
denklemlerini bulunuz.
a) P(3, 2) noktasından geçsin
b) Merkezinin apsisi 3 olsun
c) Merkezi x-2y=6 doğrusu
üzerinde bulunsun
Ç:Aranan çemberler x²+y²=1 ve
x²+y²-2x=0 çemberlerinin oluşturduğu çember demetinin bir üyesi olmalıdır.Bu
çember demeti kÎR olmak üzere,
x²+y²-1+k(x²+y²-2x)=0Þ (1+k)x²+(1+k)y²-2kx-1=0 biçimindedir.
a) Aranan çember P(3, 2)
noktasından geçeceğinden, çember demetini sağlamalıdır.
(1+k)3²+(1+k)2²-6k-1=0Þk=-12/7 dur.
O halde aranan çember
denklemi;
(1-12/7)x²+(1-12/7)y²+24x/7-1=0
5x²+5y²-24x+7=0 bulunur.
b) (1+k)x²+(1+k)y²-2kx-1=0 ÞM()
ÞÞk=-3
O halde aranan çember
denklemi;
-2x²-2y²+6x-1=0 Þ2x²+2y²-6x+1=0 bulunur.
c) M merkezi x-2y=6 doğrusu
üzerinde ise;
M(2a+6, a) biçimindedir.
Burada () Þ k=-3/2 olur.
O halde aranan çember
denklemi;
x²+y²-6x+2=0 bulunur.
29. 
Denklemi (x-a)²+(y-b)²=R² olan
bir çember ile dışındaki bir noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları olsun.Buradaki değme noktalarını birleştiren doğrusuna kutup doğrusu (değme kirişi), P
noktasına da kutup denir.Buna göre çember dışındaki düzlemin her kutup
noktasına bir kutup doğrusu, her kutup doğrusuna da çemberin dış bölgesinde
bir kutup noktası karşılık gelir.Şayet P kutup noktası çember üzerinde ise buna
karşılık gelen kutup doğrusu, P den çembere çizilen teğet denklemidir.
Denklemi (x-a)²+(y-b)²=R² olan
çemberin üzerindeki bir noktasından çizilen teğet denklemi (kutup doğrusu)
(-a)(x-a)+(-b)(y-b)=R² olduğundan, kutup noktası çember dışında da olsa buna karşılık
gelen kutup doğrusunun denklemi de aynı, yani
(-a)(x-a)+(-b)(y-b)=R² dir.
Yukarıda verilen bilgilere
göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) x²+y²=36 çemberine P(-4,8)
noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarını birleştiren doğruyu bulunuz.
b) x²+y²-8x+2y=32 çemberine,
düzlemin hangi noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarını birleştiren
değme kirişi x-4y=12 doğrusudur?
c)
Şekildeki çemberin denklemi
x²+y²=16,
d doğrusunun denklemi
3y-4x=24,
l' doğrusunun denklemi
y=4x-13,
P den çizilen teğetler t ve
t',
l//l' olduğuna göre P
noktasının koordinatlarını ve l doğrusunun denklemini bulunuz.
Ç:a) x²+y²=36 çemberine
P(-4,8) noktasından çizilen değme kirişi (kutup doğrusu) denklemi;
-4x+8y=36Þ x-2y+9=0 dir.
b) x²+y²-8x+2y=32 çemberinin
x-4y=12 kutup doğrusuna karşılık gelen kutbu bulmamız isteniyor.Bu nokta P(a,
b) olsun.Bu noktaya karşılık gelen kutup doğrusu;
ax+by-4(a+x)+(b+y)-32=0
Þ(a-4)x+(b+1)y-4a+b-32=0 biçimindedir.
Bu doğru verilen x-4y-12=0
doğrusu ile çakışması gerektiğinden;
Þ(4a+b=15 ve 8a+b=80)
ÞP(65/4, -50) bulunur.
c)
Şekildeki çemberin denklemi
x²+y²=16,
d doğrusunun denklemi
3y-4x=24,
l' doğrusunun denklemi
y=4x-13,
P den çizilen teğetler t ve
t',
l//l' olduğuna göre P
noktasının koordinatlarını ve l kutup doğrusunu bulacağız.
Şekle göre l doğrusu P kutup
noktasının, kutup doğrusudur.
l//l' olduğundan denklemi l
kutup doğrusunun denklemi y=4x+nÞ4x-y+n=0 biçiminde
olmalıdır.
P noktası d doğrusu üzerinde
olduğundan koordinatları, a bir parametre olmak üzere P(3a-24, 4a)
biçimindedir.
P nin kutup doğrusu
(3a-24)x+4ay-16=0 dir.Bu doğru 4x-y+n=0 doğrusu ile çakışacağından; katsayıları
orantılı olmalıdır.
Þ (-3a+24=16aÞ19a=24 Þ a=24/19 ve 4an=16Þ4.24.n/19=16Þn=19/6) olur.
Buna göre; P kutup noktası
P(-384/19, 96/19),
l kutup doğrusunun denklemi de
4x-y+19/6=0
Þ24x-6y+19=0 bulunur.
 |
Bu yorumun beslemesine abone olun
