Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.

s(A)= m , s(B)= n ve A ile B�nin kesişimi boş küme ise birleşimin eleman sayısı

s(A) + s(B)= m+ n� dir.

O halde ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( ya bir bay veya bir bayan seçilecek )

Çözüm : 5 bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 yolla seçilebilir. Buna göre 5 bay ile 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan 5 + 3 = 8 yolla seçilebilir.

Çarpma Kuralı : n bir sayma sayısı olmak üzere a₁, a₂, a₃, ....., a_n ile gösterilen n tane nesne için ( a₁ , a₂ )� ye sıralı ikili, ( a₁ , a₂ , a₃ )�e sıralı üçlü ... ( a₁ , a₂ , a₃ , ... , a_n )�e sıralı n�li denir. Sıralı ikililerin kümesini A₂ , Sıralı üçlülerin kümesini A₃ , Sıralı dörtlülerin kümesini A₄ .... şeklinde gösterelim.

A₁ , A₂ , A₃ , ... , A_r kümelerinin elemanlarının sayısı n₁ , n₂ , n₃ , ... , n_r olsun. Bu durumda s ( A₁.A₂.A₃... A_r )= s(A₁ ). s(A₂ ). s(A₃ )... s(A_r ) = n₁.n₂.n₃ ... n_r olur.

Yukarıdaki genel kuralı iki işlem için açıklıyalım : iki işlemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.

Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından1 bay ve 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( hem bir bay hem de bir bayan seçilecek )

Çözüm : 5 Bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 değişik şekilde yani 3 yolla seçilebilir. Yukarıda açıkladığımız kurala göre 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan 5.3 =15 yolla seçilebilir.

FAKTÖRİYEL

Tanım: 1�den n�e kadar olan tamsayıların çarpımına �n faktöriyle� denir ve n! Şeklinde gösterilir.

1.2.3.....n = n!

0!=1

1!=1

2!=1.2 = 2

3!=1.2.3.= 6

4!=1.2.3.4 = 24

Uyarı : n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!

Yani 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2!

9! = 9.8! = 9.8.7! = 9.8.7.6! = 9.8.7.5.5! gibi.

Örnek: 15! / 13! =?

Çözüm : 15 ve 13 arasında 15 sayısı 13 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. 15! = 15.14. 13! olur.

15! / 13! = 15.14. 13! / 13! = 15.14 bulunur.

Örnek: n! / (n - 2 )! =?

Çözüm : n ve n - 2 arasında n sayısı n-2 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. n! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! olur.

n! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ) bulunur.

Kural : n tane eşyayı n tane yere n! kadar farklı şekilde dizeriz.

Örnek: 6 tane ampul 6 tane yere kaç farklı şekilde takılabilir?

Çözüm : Açıklayıcı olması için ampüllere A , B , C ve D , yerlere 1 , 2 , 3 ve 4 diyelim. A ' dan başlayarak ampülleri takalım. A ampülü 4 yerden birine takılabilir. Yani A ampülünün takılması için 4 yol var. A ampülünü taktıktan sonra 3 ampül ve üç yer kalır. B ampülü 3 yerden birine takılabilir. Yani B ampülünün takılması için 3 yol var. A ve B ampülünü taktıktan sonra 2 ampül ve 2 yer kalır. C ampülü 2 yerden birine takılabilir. Yani C ampülünün takılması için 2 yol var. A , B ve C ampülünü taktıktan sonra 1 ampül ve 1 yer kalır. D ampülü 1 yere takılabilir. Yani D ampülünün takılması için 1 yol var. Çarpım kuralına göre bu 4 ampül yolların çarpımı kadar farklı şekilde takılabilir.

Yani 4.3.2.1 = 4! = 24 değişik takma şekli vardır.

 Aşağıdaki sadeleştirmeleri yapınız.

1. (n-2)! (n+1)! / n!. (n - 1)!

2. n! . (n-1)! / (n - 2 )! .(n+ 1)!

3. (n+ 2)! (n+1)! (n-2)! / n! (n-3)! (n+2)!

Örnek: Farklı, 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir.

1. Kaç farklı şekilde dizilebilir?
2. Aynı dersin kitapları yan yana gelmek şartıyla bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
3. Fizik kitapları yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
4. Belli iki kitap yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
5. Kenarlara fizik kitabı gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm :

     a.  Rafa kitapları soldan sağa doğru dizdiğimizi düşünelim 1. sıraya dizilecek kitap 8 farklı kitap koyabiliriz yani 8 yolla, 1.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 2.sıraya dizilecek kitap diğer 7 kitap arasından biri olacağı için 7 yolla, 1.sıraya 1 kitap ve 2.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 3. sıraya dizilecek kitap diğer 6 kitap arasından biri olacağı için 6 yolla,... bu şekilde her seferinde 1 kitap azalır. 8.sıraya dizilecek kitap 1 tane kaldığından 1 yolla belirlenir.Buna göre, bu 8 kitabın bir rafa yanyana dizilişi 8.7.6. 5. 4. 3. 2. .1= 8! yolla belirlenebilir.

2. Matematik kitapları 1 kitap, Fizik kitapları da 1 kitap gibi düşünülürse, bunların yanyana dizilişi 2! yolla olur. (matematik kitapları sağda fizik kitapları solda veya matematik kitapları solda fizik kitapları sağda ). 5 Matematik kitabının kendi arasındaki dizilişi 5! yolla olur. 3 fizik kitabının kendi arasındaki dizilişi 3! yolla olur.Buna göre matematik kitapları ve fizik kitapları, aynı dersin kitapları yanyana gelmek şartıyla 2!.3!.5! yolla dizilebilir.

3. Fizik kitapları yanyana gelince 1 kitap gibi olur. Fizik kitaplarını 1 kitap gibi düşünelim. Bu durumda 6 kitap varmış gibi düşünülebilir. Bu 6 kitabın 6! farklı dizilişi vardır. Fizik kitapları kendi arasındaki dizilişi 3! yolla , 5 matematik ve 3 fizik kitabı, fizik kitapları yanyana gelmek şartıyla 6!.3! yolla dizilebilir.

4. 8 kitabın belli ikisi A ve B olsun. A ve B�yi bir kitap gibi düşünelim. Bu durumda 7 kitap olduğu düşünülebilir. Bunların yanyana dizilişi 7! yolla yapılabilir. A ve B kitaplarının kendi aralarındaki dizilişi 2! olduğu için, 8 kitap; belli ikisi yan yana gelmek şartıyla 7!.2! yolla dizilebilir.

     e.  1. Sıraya ve 8. Sıraya fizik kitabı 2.,3., ....., 7. sıralara diğer 6 kitap dizilirse uygun diziliş gerçekleşir. Buna göre, 1. sıraya gelecek fizik kitabı 3 fizik kitabı arasında 3 yolla, (1.sıraya gelecek fizik kitabı belirlendikten sonra) 8. sıraya gelecek fizik kitabı diğer iki fizik kitabı arasından 2 yolla belirlenebilir. Diğer 6 kitabın dizilişi 6! Yolla belirlenebilir. O halde 8 kitap kenarlara fizik kitabı gelmek şartıyla, 3.2.6! =3!.6! yolla dizilebilir.

Yorumlar (0)

Bu yorumun beslemesine abone olun

İsim

E-posta

Website

Başlık

Yorum

daha küçük | daha büyük

E-posta ile takip (sadece kayıtlı kullanıcılar)

Okudum ve kabul ediyorum Kullanım şartları.

Yorum Ekle