|
Geometri uzayın ve uzayda tasarlanabilen
biçimlerin, kurallara uyularak incelenmesini konu alan matematik
dalıdır. Etimolojik olarak "geometri" kelimesi, dünya'nın ölçümü
anlamına gelir. Geometri çok eski çağlardan beri vardır. Ancak geometri
ismi, bu ilmin ilk sistematik hale gelmeye başladığı Eski Yunanlılardan
bu yana kullanılmaya başlanmıştır. Bu bilim dalı başlangıçta,
düzlemdeki ve uzaydaki şekillerin incelenmesini konu edindi. Söz konusu
şekiller somut nesnelerden türemelerine rağmen, geometri, deneysel
yöntemlerin kullanımını çok erken terk etti. Bunun tersine, şekilleri
gerçek nesnelerin ideal biçimine indirgemeye çalıştı (parçaları olmayan
nokta; bütün noktalarında kendine benzeyen doğru). Öte yandan geometri,
gözlemi de ölçmeyi de kullanmayan postulatlar (koyutlar) ve sonuçlarla
işleyen bir kanıtlama biçimine başvurdu.
Yüzölçümü hesaplamak
istenen bir tarlanın çizgisel taslağından tutun da gök cisimlerinin
yörüngelerinin saptanmasına, haritalara, planlara, coğrafyada
kullanılan ölçeklere, makine yapımına, mimarlığa varıncaya kadar,
geometri bilgisinin mutlaka gerekli olduğu alan pek çok ve geniştir.
Bugünde kullandığımız mühendis kelimesi Arapça’da “hendese bilen”
anlamına gelir ki hendese geometrinin bir diğer ismidir.
Geometrinin
“yer ölçme” (geo: yer, metr: ölçüm) anlamı aslında tarihin
derinliklerinde geometrinin taşıdığı anlamdır. İnsanoğlu toprak ile
karşılaştığında ondan yararlanmaya, ona sahip olmaya başlamıştır. İlk
medeniyetin beşiği sayılan Nil Vadisi’nde Temmuz ve Ağustos aylarında
Nil nehri taşar ve en dar yeri 7 km, en geniş yeri 40 km olan yatağını
alüvyonlu topraklarla örter. Böylece arazi üzerindeki hudutları bir
bakıma siler. Ardından araziyi işlemek isteyenler arasında “burası
senindi, burası benimdi” kavgaları olurdu. Bu probleme kalıcı bir
çözüm bulmak hayli zor ve zaman alıcı olmuştur. Nihayet gökyüzündeki
yıldızların oluşturduğu üçgen, dörtgen, ... gibi şekiller arazi üzerine
çizildi. Ve bunların sahipleri tespit edilerek karışıklıklara son
verildi.. Böylece ilk geometri konuları da ele alınmış oldu. Bu
gayretler devam ettikçe geometri gelişmiştir.
İlk geometrilerin
tümü, kendi doğası nedeniyle sezgiseldir. Bunlar daha çok ilk
insanların çevresinde görülen doğal şekillerdir. Bu geometriler daha
çok görsel türdedir. İkinci olarak şekillerin ölçülmesi aşaması gelir.
Eski
Mısır'da görülen geometri bilgileri, yüzey ve hacim hesapları olarak
karşımıza çıkmaktadır. Mısırlılar, kare ve dikdörtgen alanlarını, doğru
bir şekilde hesaplayabiliyorlardı. Düzgün olmayan bir yüzeyin planını
ise, dörtgenleştirme yoluyla elde ediyorlardı. Üçgen alanı bilgisinden
hareket ederek de, yamuğun alanını elde ediyorlardı.
Dörtgenlerin
ve üçgenlerin ölçülmesi ilk kez Mısır’da Ahmes’in (İ.Ö.1550)
papirüsünde görülür. Bu papirüs İ.Ö.1580 tarihinden önce yazılmıştır. b
tabanlı ve h yükseklikli ikiz kenar üçgenin alanının bh/2 olduğu
verilmiştir. Yine aynı papirüste d çaplı bir dairenin alanının (d-d/9)2
yazımına eşdeğer olduğu yazılmıştır. Bu yazımlara göre pi sayısı
yaklaşık olarak 3.1605 dolaylarındadır. Bu formül geometrik şekilden
yaklaşık olarak elde edilmiştir.
Mısırlılar'ın; üç boyutlu
cisimlerden; silindir, koni, piramit, dikdörtgen prizma ve kesik prizma
hacimlerini de bildikleri anlaşılmaktadır. Kesik piramidin hacminin
hesaplanması, zamanın geometrisi için son derece önem taşımaktadır.
Ord.Prof.Dr.Aydın Sayılı; Mısırlılarda ve Mezopotamyalılarda Matematik,
Astronomi ve Tıp adlı eserinde konu ile ilgili geniş bilgi verdikten
sonra şunları yazar: "Mısırlılar'ın, aritmetiklerinde olduğu gibi
geometri problemlerinin çözümünde de, tamamıyla somut özel hallerin ele
alınmasından ileri gidilmiyor. Karşılaşılan bütün örneklerde ortak bir
vasıf Mısır geometrisinde genel formül kavramının mevcut olmayışıdır.
Zihinde bir nevi genel formül fikri ve belli genellemeler vardı. Açı
geometrisi mevcut değildi. Bunun yanında Doğru geometrisi gelişmiş
durumdaydı." Burada doğru geometrisi ile ölçü için; sadece doğruları
kullanan ve açı kavramına başvurmayan bir geometri kastedilmektedir.
Alan ve hacim hesapları, doğruların yardımıyla yapılmaktadır. En, boy,
taban, dikme, köşegen, çap ve çevre, hem ölçülebilen, hem de ölçüde
aracı rolünü kullanıyordu. Bugünkü ifadeyle; 45 derecenin, bazı
trigonometrik özelliklerini de bildikleri anlaşılmaktadır.
Burada
akla şöyle bir soru gelmektedir; Mısırlılar, ilkel geometri bilgisi
diyebileceğimiz, ama bugünkü geometrinin temel bilgilerini, hangi
ihtiyaçları sonucu ortaya koymuşlardır?
Başta da
belirttiğimiz gibi Nil Nehrinin belli aralıklarla taşması sonucu
silinen arazi hudutlarının tekrar belirlenmesi amacıyla bir ihtiyaç
olarak doğmuştur. Mısır mezar lahitlerinin, piramitlerin, tahta
işlerinin estetik bakımdan üstünlük sağlaması, hem çalışmaların
ihtiyacından doğmuş ve hem de zaman için var olan ölçü tekniği ile
basit de olsa bu ölçülerin hesaplama tekniğinin kısmen ileri derecede
olması geometrinin temellerinin oluşmasında katkı sağlamıştır.
Zamanımıza
kadar ulaşmış tabletlerin değerlendirilmesi sonucu Mezopotamya
matematiği hakkında bilgiler elde edilmektedir. Bu tabletler bilim
tarihinde; Susa, Vatikan 8512, Tell Halman, Plimpor 322, British Museum
85114 ve Elam tabletleri şeklinde adlandırılmıştır. Bugün, Thales
Teoremi olarak bilinen teoremin varlığı, Thales'ten (batı felsefesinin
ilk filozofu) 1700 yıl ve Öklid'ten 2000 yıl kadar önce biliniyordu.
Aydın Sayılı; adı geçen eserinde, Susa tabletlerine dayanarak Thales
Teoremlerinin nasıl ortaya çıktığını belirtir. Bu teoremlerin, Öklid
tarafından bilindiğini ve Elementler adlı eserinin, 6. ve 8. teoremler
olarak açıklandığını yazar. Kaynaklardan şu sonucu çıkarmaktayız.
Bugünkü klasik geometri veya Eski Yunan geometrisinin temsilcileri
olarak görülen, Thales, Pisagor ve Öklid'e dayalı geometri bilgilerinin
temelinde Mezopotamya matematiği bulunmaktadır. Başka bir ifade ile
Mezopotamyalılar tarafından, bu geometri bilgileri, eski Yunan
matematikçilerinden, çok önceki yıllarda bilinmekte olduğu
anlaşılmaktadır.
Thales’e atfolunan bilgiler, aslında, Mezopotamya geometrisine dayanmaktadır. O bilgiler şunlardır:
1. Thales Teoremi:
a. Benzer dik üçgenlerde (veya iki üçgenin açıları eşitse) kenar
uzunlukları oranları eşittir (Öklid, Geometrinin Unsurları, VI, 4)
b. Bir dik üçgende, dik açının tepe noktasından hipotenüse
indirilen dikmenin iki tarafında kalan iki üçgen birbirine ve asıl
üçgene benzer üçgenlerdir (Öklid, Geometrinin Unsurları, VI, 8).
2. Çapı gören çevre açısı bir dik açıdır. Çap, çemberi iki eşit kısma böler.
3. Bir ikizkenar üçgende, taban açılarının eğimleri eşittir.
4. Thales, tıpkı Mezopotamya’da olduğu gibi,
açı yerine, ancak dik açıya dayanarak, eğimleri göz önünde
bulundurmuştur; ve, ‘eşit açılar’a ‘benzer açılar’ adını vermiştir;
dairede ise çapı gören dik açıyı söz konusu etmiştir; ikizkenar üçgende
‘taban açılarının eşitliği’ yerine ‘taban açılarının eğimlerinin
eşitliğini düşünmüştür. Ters açıların eşit olduğunu fark etmiştir.
5. Birer kenarı ile ikişer açıları eşit olan üçgenler eşittir.
Kaynaklar
geometri konusunda şu bilgileri de vermektedir. Çemberi de, ilk önce
360 dereceye Mezopotamyalılar'ın ayırdığı, bu geleneğin Mezopotamya
menşeli olup Yunanlılara, Mezopotamyalılar'dan geçtiği bilinmektedir.
Kesik piramidin hacminin ortaya konması ve ispatlanması geometride
önemli bir yer tutar. Mezopotamyalılar, kesik piramit hacmine ek
olarak, piramit hacim formülünü de bilmiş olmaları gerekiyor.
Babilliler,
bugün Eski Yunandan beri Pisagor Bağıntısı diye adlandırılan teoremi
biliyorlardı. M.Ö. 18. yüzyıla (Birinci Babil İmparatorluğu Devri) ait
tablette, bugün Pisagor Bağıntısı dediğimiz : c2 = a2 + b2 formülüyle
bağlı; a, b, c gibi sayılar üç sütun üzerine sıralanmış; birinci sütuna
c ikinci sütuna a, üçüncü sütuna da, b gibi sayılar kaydedilmiş, c lere
karşılık olan sayılar belirtilmemiş. Pisagor'dan on iki yüzyıl önce,
bu gibi sayılara ait özellikleri bilen Mezopotamyalılar'ın soyut
aritmetik problemlerine dayanarak, sayılar teorisi esasları üzerinde
zihni bir merak aşamasına varmış oldukları anlaşılmaktadır.
Mezopotamya
geometrisi hakkında bir fikir vermek üzere, düzgün olmayan şekillerin
alanlarının nasıl bulunduğu hakkında bir resim aşağıda göstermiştir.
Mezopotamya'da, düzgün olmayan yüzeylerin
alanını hesaplama şekli
Eski
Yunan matematikçilerinden Demokrit'te, gelişmiş bir geometri bilgisi
görülmektedir. Ancak kaynaklar; Demokrit'in Eski Mısır matematiği ile
temasta olduğunda hemfikirdir. Thales, ikizkenar üçgenin taban
açılarının eşit olduğunu bildiği, ancak üçgenin iç açılarının 180
derece olduğu yolundaki bilgilerin Thales'e ait olmadığı anlaşılmıştır.
Pisagor, geometri çalışmalarında, güney İtalya'da Kroton'da okullar
açmış ve geometrinin gelişmesini sağlamıştır. Öklid, Elementler adlı
geometri kitabını yazmakla ün yapmıştır. Bu eserdeki geometri bilgileri
2000 yıl kadar, fazla bir değişikliğe uğratılmadan, geometri
derslerinde okutulmuştur. Bu eserin, bazı kısımlar günün ihtiyaçlarına
cevap vermek için, 1700 yılından itibaren modernleştirilmiştir. Bugünkü
geometride bilinen birçok bilgiler, Elementler'de vardır.
Kaynaklar;
geometrinin önce Eski Mısır'da başladığını, Eski Yunanlılar'ın
geometriyi Eski Mısır'dan öğrenmiş olduklarını belirtmektedir. Tarihçi
Herodot (M.Ö. 485-425), geometrinin Eski Mısır'da başladığını ve arazi
ölçüsü ihtiyacından doğmuş olduğunu belirtir. Aydın Sayılı : "Bunun
gerçeğe uygun olduğunu, yani bölge bir menşeden başlayarak, geometrinin
Eski Mısır'da bir ilim haline geldiğini kabul edebiliriz" der. Eski
Yunanlılar'ın, matematikte ve özellikle geometri bakımından, Eski
Mısırlılardan geniş şekilde yararlanmış oldukları anlaşılmıştır. Bu
durumda, Eski Yunanlılara atfedilen geometri bilgileri hakkında şu
görüşü belirtebiliriz;
Eski Yunanlılar, Eski Mısır
yörelerini uzun yıllar dolaşmışlar. Bu yöreleri ilk dolaşan ve Eski
Yunan'ın ilk bilgini (bilgesi) sayılan Thalestir (M.Ö. Miletes 640 ?
-548 ?). Thales'ten sonra Pisagor'un ve Öklid'in bu yöreleri uzun
yıllar dolaştıkları tarihi bir gerçektir. Bu bilginler, buralardan elde
ettikleri geometri bilgilerini almışlardır. Bilahare de, geometriyi
sistemli ispatlara dayanan müstakil bir bilim haline getirmişlerdir.
Eski Yunanlılar'ın başarısı, geometriyi sistemleştirip, müstakil bir
matematik dalı haline getirmiş olmalarıdır.
Matematiğin;
aritmetik, cebir ve trigonometri dallarında kurucu denecek kadar eser
ortaya koyan, 8. ile 16. Türk-İslam Dünyası alimleri; geometri dalında
da, temel teşkil edecek, zamanı için orijinal ve kıymetini uzun yıllar
koruyan eserler ortaya koymuşlardır.
İlk defa, cebiri
geometriye tatbik etme fikri, ilmi metotlarla çalışan, bu devir
matematikçilerinin eseri olmuştur. Bu durum, geometrinin çok kısa
zamanda gelişmesini sağlamıştır.
Özellikle, Eski Yunan
alimlerinin ortaya koydukları geometri konularını kapsayan eserler,
uzun yıllar anlaşılamamıştır. Ne zaman ki; İslam alimlerinin bu
eserlere yazdıkları yorumlamalar sonucu, Öklid ve çağdaşlarının
eserleri ancak anlaşılabilirlik kazanmıştır. Bunlardan;
a) Harezmi ve Geometri
Matematikte
yeni sayılabilecek bir dal olan, analitik geometri ile ilgili eserler,
analitik geometriyi, 16. yüzyıl Fransız matematikçi Descartes'ın, 1637
yılında yazdığı La Geometri adlı eseri ile başlatırlar. Gerçekte,
Harezmi tarafından 830 yılında Arapça olarak yazılan Cebri ve'l
Mukabele adlı eserde, analitik geometriye ait ilk bilgiler ortaya
konmuştur. Hatta, Ömer Hayyam'ın Cebir adlı eserinde de, analitik
geometriye ait bilgilerin varlığı görülür. Analitik geometrinin
Descartes'la ilgisini, şu şekilde belirtmek, gerçeğin tam ifadesi olur.
Descartes,
kendisinden önceki yıllarda var olan analitik geometri bilgilerini
toplayarak sistemleştirmiş ve kısmen de genişletmiştir.
Doğulu
milletlerin din, dil, edebiyat, tarih ve kültürlerini inceleyen batılı
bilgini Sigrid Hunke, analitik geometri konusunda aynen şunları yazar:
”Adedi çokluklarla (kemiyetlerle) geometrik çoklukların beraber
yürütülmesi gerektiğine dair kesin fikir de ilk olarak, İslam ilim
sahasında rastlanır…” Rönesansımızın üstatları, onun için, Yunanlılar
değil, bilakis İslam Dünyası oldu.
Denebilir ki;
cebrin geometriye tatbikatı demek olan, analitik geometriyi münferit
bir geometri dalı haline getirme metotlarını ilk olarak Harezmi
tarafından ortaya konmuştur.
b) Sabit bin Kurra ve Geometri
Trigonometrinin Avrupa'da duyulup dağılmasına etkisi
olanların başında gelen Sabit bin Kurra, geometri konularındaki
çalışmaları ile de adını zamanımıza kadar sürdürmüş olan ünlü
matematikçilerimizden biridir. Konikler kitabı ile Apolonyos'a şerh
yazdı. Huneyn bin İshak tarafından Öklid'in Elementler adlı eserine
yazılan şerhi, ilaveler yaparak düzeltti. Menalaus, Apolonyos, Fisagor,
Archimed, Öklid ve Theodosus'un eserlerini Arapçaya şerh etmekle,
geometriye, zaman için orijinal olan, yeni bilgiler kazandırmıştır.
Georges
Rivoire şunları yazar : " ...Cebirin geometriye uygulamasını,
müslümanlara borçluyuz. Bu da, 900 yılında vefat etmiş Sabit bin
Kurra'nın eseridir."
c) Ebu'l Vefa ve Geometri
Trigonometri
çalışmaları dışında, düzgün çokyüzlüler konusuyla da uğraşmıştır. 7 ve
9 kenarlı düzgün çokgenlerin yaklaşık çizimlerine dair yeni bir
geometrik yöntem ortaya koymuştur. Kısmen Hint modellerine dayalı
olarak ortaya koyduğu geometrik çizimleri, geometri bakımından önem
taşır. Ebu'l Vefa'nın çizim geometrisine ait ortaya koyduğu
çalışmalarına dair bir fikir verebilmek için üç ayrı problemini örnek
olarak belirtelim. Bunlar:
1) Pergelle daire içine, açıklığını bozmadan kare çizmek.
2) Verilen bir doğru parçasını, pergel yardımıyla eşit parçalara bölmek.
3) Verilen bir kare içine, eşkenar bir üçgen çizmek.
Matematik
tarihi İncelendiğinde; Ünlü matematikçilerden, Thales, Öklid,
Pisagor'un hazırladıkları eserler ve bu eserlerinde ortaya attıkları
teoremler, Harezmi, Ömer Hayyam, Sabit bin Kurra, Beyruni, Nasirüddin
Tusi'nin yazdıkları şerhler ve ortaya koydukları görüşler sonucu,
geometri yeni boyutlar kazanmıştır.
Batı Avrupa’nın uyanmasından
önceki yüzyıla kadar Yunan geometrisini tam olarak Müslümanlar
anlamıştır. Yunan klasiklerini, geometrilerini, fen bilimlerini ve
felsefelerini Arapça’ya çevirmişlerdir. Okullaşma olmadığı için gelecek
gençlere bu çeviriler öğretilmemiş, bu kitaplar sadece neredeyse bir
süs olarak sarayda kalmıştır. Yaptıkları hizmet, kaybolmaya yüz tutmuş
Yunan klasiklerini, matematiklerini ve düşüncelerini Arapça
çevirileriyle Avrupaya iletmişlerdir.
İ.Ö.1100 yıllarında
yazıldığı sanılan Çinlilerin ünlü Nine Sections (Dokuz Bölüm) kitabında
dik açılı üçgen ve ispatsız olarak Pisagor Teoremi vardır. Daha sonraki
Çin geometrilerinde ölçümleri içeren çok zeki buluşlar vardır. Yine
geometrik görünümle Pisagor teoreminin ispatı yapılmıştır. Bu geometrik
şekille verilen kitabın İ.Ö. 2000 yıllarında yazıldığı sanılıyor.
Hintlilerin
yerli geometrilerinde ise matematiksel ispat yoktur. Daha çok görsel ve
deneysel ölçülere dayanan kuralları vardır. Bunlar da o kadar ileri bir
geometri oluşturmaz. Bin yıllık bir süre boyunca kullanılan Yunan
geometrisi ise daha çok görseldir. Eski Roma geometrisi daha çok
kullanım alanlarına yöneliktir.
Avrupa’daki karanlık çağda biri
Boethius’un (510) diğeri de Öklid’in (İ.Ö.300) kitapları vardır.
Bunlardan sonra Gerbert’in (1000) ve Fibonacci’nin (1202) geometrileri
sayılabilir ama bu geometriler İskenderiye geometrilerinden ileri bir
düzeyde değildi. Öklid’in geometrisinin ardından yavaş yavaş geometri
ürünleri ortaya çıkmaya başladı.17.yüzyılın başlarında analitik
geometri ve 1639 yılında da Desargues’ın (1593-1662) izdüşüm geometrisi
basıldı. Analitik geometri Descartes (1596-1650) ve Fermat (1601-1665)
tarafından aynı dönemlerde yapıldı. Fermat yaptığı çalışmaları
yayınlamadığı için analitik geometrinin bulunması onuru Descartes’e
verildi.
Analitik geometri kısaca geometri ile cebir arasındaki
ilişkidir diye söyleyebiliriz. Geometri ile cebir arasındaki ilişkiyi
ilk kez Descartes çıkardığı için büyük bir matematikçi olmuştur.
Descartes (1596-1650) her türlü düzlem geometri probleminini bir
denklemler dizisine indirgedi. Bu dönemden sonra, sayısal koordinatlara
dayanan bir gösterim biçimi kullanıldı ve şekilleri fonksiyonlar olarak
ele aldı.Desargues’ın iz düşüm geometrisi matematikçilerin çok
dikkatini çekmiş ve 19.yüzyılda çıkacak olan geometricilere coşku ve
esin kaynağı olmuştur.
Analitik geometri bulunduktan sonra
Apollonius’un (İ.Ö.262-190) konikleri sentetik ve analitik olarak
gözden geçirilmiştir.Sentetik geometrinin tüm problemleri bir kezde
analitik olarak kanıtlanmıştır.
Eukleidesçi olmayan
geometrilerin geliştirilmesi, bu bilim dalında yeni çeşitlenmelere yol
açtı. Bir noktadan bir doğruya çizilebilecek paralellerin sayısına
(Eukleidesçi geometride yalnızca bir olmasına karşılık, Eukleidesçi
olmayanlarda sıfır veya sonsuz sayıda) dayanan bu geometriler, uzaklık
fikrini tartışma konusu yaptı. Ortak yargının tersine, iki nokta
arasındaki uzaklık evrensel bir veri değildir ve söz konusu noktaların
bulunduğu uzayın özelliklerine bağlıdır.
Erlangen Programı
(1872) olarak adlandırılan ünlü çalışmasında Felix Klein, bu çeşit
yaklaşımları sınıflandırmasını önerdi. Her geometri türüne,
değişmezliğini benimsediği kavramlarla nitelenen bir dönüşümler grubu
eşlik etti. Modern cebirden doğan bu grup kavramı, bu dönemden sonra
geometride büyük bir önem kazandı. XVII. yy.'dan bu yana geometriyi,
biri çeşitlendirici, diğeri birleştirici olan, çelişkili ve tamamlayıcı
iki eğilim biçimlendirdi. Geometri, kavramsal katkılar ve matematiğin
diğer alanlarında geliştirilen yöntemlerle zenginleşerek, önerilen
bağıntılara bağlı, yeni araştırma alanları oluşturdu.
Geometrinin kilometre taşları şöyle sıralanabilir:
İsa’dan
önce Thales, Euclides, Apollonios, Archimedes ilk akla gelenlerdir.
Daha sonra Descartes (1637), Desarques (1639), Lazer Carnot(1803), Jean
Victor Poncelet (1822), Janos Bolyai (1823), Michei Chasles (1837),
N.Lobaçevsky (1840), Bernard Riemann (1867), C.Felix Klein (1872),
DavidHilbert (1899) ve Albert Einstein (1921)olarak sayılabilir.
Kaynaklar:
Geometrinin Tarihsel Gelişimi-Gültekin Buzkan
(Ege Üniversitesi Merkez Kütüphanesi matematik bölümü kitaplığı
Lütfi
Göker’in Fen bilimleri tarihi adlı eseri, Aydın Sayılı’nın Mısırlılarda
ve Mezopotamyalılarda,matematik astronomi ve tıp eseri)
http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Euclid.html
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/Euclid.html
http://www.chuckiii.com/Reports/Mathematics/Euclid.shtml
The Obsecurity of the Equimultiples – Paulo Palmeri (sayfa 556)
www.mydoom.org--Geometri nedir?
www.wikipedia.com--History of Geometry
http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsGeometry.shtml
1. G. D. Birkhoff and R. Beatley, Basic Geometry, AMS Chelsea Publ., 2000, 3rd edition
2. D. A. Brannan, M. F. Esplen, J. J. Gray, Geometry, Cambridge University Press, 2002
3. J. N. Cederberg, A Course in Modern Geometries, Springer, 1989
4. D. Hilbert, Foundations of Geometry, Open Court, 1999
5. B. Jowett, The Dialogues of Plato, Random House, 1982
6. F. Klein, Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry, Dover, 2004
7. D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, Dover, 1988
8. C. Pritchard (ed.), The Changing Shape of Geometry, Cambridge University Press, 2003
9. S. Roberts, King of Infinite Space, Walker & Company, 2006
10. S. Schwartzman, The Words of Mathematics, MAA, 1994
 |
Bu yorumun beslemesine abone olun
