|
TANIM : f A kümesinden B
kümesine bir bağıntı olsun. f bağıntısında
A nın
istisnasız her elemanı B nin en fazla ve en az
bir elemanı ile eşleşiyorsa f
bağıntısına fonksiyon denir ve
 şeklinde gösterilir.
A kümesine tanım
kümesi,
B kümesine görüntü
kümesi denir.
Tanım kümesinin elemanlarına orijinaller,
görüntü kümesinin elemanlarına görüntüler denir.
Bu yeni terimleri kullanarak fonksiyon olma şartını
yeniden yazalım :
A'nın her orjinalinin B
içinde en az ve en fazla bir tane görüntüsü
olacaktır.
ÖRNEK : Aşağıdaki bağıntılardan
hangileri A=
{ 1,
2 , 3 } kümesinden
B = { a, b , c , d } ye fonksiyondur?
1. Β1 = {(1, b), (2, a)
}
2. Β2 = {(3,b), (1,c), (2,b) }
3. Β3 = {(1,a), (2,a), (3,a) }
4. Β4 = {(1,a), (2,b),
(1,c) , (3,c) }
ÇÖZÜM :
1. 1. Β1 =
{(1, b), (2, a) }
A kümesindeki 3' orjinalinin B içinde bir
görüntüsü yoktur.
Β1 fonksiyon
değildir.
2. 2. Β2 =
{ (3, b), (1,c), (2,b) }
A kümesindeki her orjinalin B içinde bir
görüntüsü vardır.
Β2 fonksiyondur.
3. 3. Β3 =
{(1,a), (2,a), (3,a) }
A kümesindeki her orjinalin B içinde bir
görüntüsü vardır.
Β3 fonksiyondur. Görüntüler
eşit olabilir.
4. 4. Β4 =
{(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }
A kümesindeki her orijinalin B içinde
yalnız bir tane görüntüsü olacak. Burada 1 orijinali iki tane farklı görüntüye
sahiptir.
Β4 fonksiyon
değildir.
ÖRNEK : Aşağıda bağıntılardan
hangileri bir fonksiyon değildir.
1.
İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı kendi mesleği
ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon
olması için her insanın en fazla bir ve en az bir tane mesleği olmalıdır. Oysa
gerçekte bazı insanların iki mesleği olduğu gibi bazı insanlarında mesleği
olmayabilir. Bu bağıntı fonksiyon değildir.
2. Hayvanlar kümesinden yuvalar kümesine
tanımlanan ve her hayvanı kendi yuvasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon
olması için her hayvanın en fazla ve en az bir tane yuvası olmalıdır. Oysa
gerçekte bazı hayvanların yuvalarının olmadığını biliyoruz. Bu bağıntı fonksiyon değildir.
3. Çocuklar kümesinden babalar kümesine
tanımlanan ve her çocuğu babasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon
olması için her çocuğun en fazla ve en az bir tane babası olmalıdır. Gerçekte
her çocuğun mutlaka bir babası mevcuttur ve bir çocuğun iki babasının olması
biyolojik olarak mümkün değildir. Bu bağıntı
fonksiyondur.
UNUTMAYIN : Birkaç çocuğun aynı babaya sahip olması fonksiyon olmayı
bozmaz.
4. Bir fabrikadaki işçilerle aldıkları
ücretleri eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM : Bu bağıntı da
fonksiyondur. Çünkü bedavaya çalışan olmayacağı için
her işçinin bir ücreti mutlaka vardır. Hiçbir
patron bir işçiye iki ücret vermeyeceğine göre her işçinin en fazla bir
tane ücreti vardır. O halde bu bağıntı fonksiyondur.
Fonksiyonlar genellikle yapılan eşlemeyi
ifade eden kurallarla verilir.
ÖRNEK : f : A = {1, 2, 3 }  B
f(x) = 2x + 3
fonksiyonunun sıralı ikililerini yazalım:
Burada tanım kümesinin elemanları ( orijinaller )
verilmiş fakat görüntüler verilmemiştir.
Fonksiyonun
kuralında x yerine orijinalleri yerleştirerek görüntüleri bulacağız.
1 in görüntüsü f(1) = 2.1 + 3 = 5
2 nin görüntüsü f(2) = 2.2 + 3 = 7
3 ün görüntüsü f(3) = 2.3 + 3 = 9
f = { (1,5),
(2,7), (1,c) , (3,9) } şeklinde gösterilir.
ÖRNEK : f = { (-4,3), (0,2), (1,5) ,
(2,-1), (-3,9), (3,2), (-2,-1) } fonksiyonu veriliyor. Aşağıdaki soruları
çözelim:
1. Tanım kümesi nedir?
2. Görüntü kümesi nedir?
3. f(2) = ?
4. f(-3) = ?
5. f(5) = ?
ÇÖZÜM :
1.
Sıralı ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin elemanlarını verir.
A = { - 4, -3 , -2 , 0 , 1 , 2 , 3 }
2.
Sıralı ikililerin ikinci bileşenleri görüntü kümesinin elemanlarını verir.
B = { -1 , 2 , 3 , 5 , 9 }
3. f(2) = ? sorusu " 2 '
nin görüntüsü kaç demektir"
2 ' nin görüntüsü sıralı ikilide 2 nin karşısındaki sayıdır.
f(2) = -1
4. f(-3) = ? sorusu " -3
' ün görüntüsü kaç demektir"
-3 'ün görüntüsü sıralı ikilide -3 ün karşısındaki sayıdır.
f(-3) = 9
5. f(5) = ? sorusu " 5 '
in görüntüsü kaç demektir"
5
'in görüntüsü sıralı ikilide 5 in karşısındaki sayıdır.
Sıralı
ikililerin hiç birinde 5 birinci bileşen olarak yer almamıştır. Yani bu
fonksiyon 5 için tanımlanmamıştır.
5
in görüntüsü yoktur.
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
SABİT FONKSİYON :
f : A B fonksiyonunda bütün orijinaller aynı
görüntüye sahip ise f ye sabit fonksiyon
denir ve her x є A iзin f (x) = b юeklinde gцsterilir.
ÖRNEK :
A = { 2 ,5 ,7 , } olmak
üzere
f : A B
f (x) = 6
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Çünkü f(2) = f(5) = f (7) = 6 � dır .
ÖRNEK : Her işçisine aynı ücreti
veren bir patronun işçileri ile aldıkları ücretleri eşleştiren fonksiyon sabit
fonksiyondur.
BİRİM FONKSİYON
f : A B
f(x) = x
f fonksiyonuna birim
fonksiyon denir .
Yani her elemanın görüntüsü kendisine eşittir .
Birim fonksiyon genellikle I (x) ile gösterilir.
ÖRNEK :
Aşağıda A = { a,b ,c } kümesinde şema ile tanımlanan
I : A A
fonksiyonu birim fonksiyondur
Çünkü : I(x) = x olur.
I (a) = a , I (b) = b , I (c) = c dir .
ÖRNEK : Bir kameranın fonksiyonu
görüntü almaktır. Kamera ile bir maçı çekersek sonradan seyrettiğimizde
kameranın her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirdiğini görürüz. Yani hiçbir
zaman Ahmet in görüntüsü Mehmet olmaz. Kamera her cismi kendi görüntüsü ile
eşleştirir. Kameranın fonksiyonu sabit fonksiyondur.
İÇİNE FONKSİYON
f : A B fonksiyonunda orijinallere ait
görüntüler görüntü ( B ) kümesinin alt kümesi oluyorsa f , içine fonksiyondur .
ÖRNEK:
Şemada tanım kümesi A = { a , b , c } ve
görüntü kümesi B = { 1, 2, 3, 4 } dür.
Orijinallerin görüntülerinden oluşan
görüntü kümesi f (A) = { 1, 2 } dir.
{ 1, 2 } C { 1, 2, 3, 4 } olur. f (A)
kümesi B ' nin alt kümesidir. Fonksiyon içinedir.
Yani B kümesi A kümesinin
görüntüleri ile örtülmezse fonksiyon içine olur.
 |
Bu yorumun beslemesine abone olun
