Ardışık Açılar Tekniği

Herhangi bir açının kolları arasında eşit uzunlukta bir çok doğru parçası çizerek elde edilecek sonlu sayıda ikizkenar üçgenler oluşturulacaktır. Bu ikizkenar üçgenlerden herhangi biri eşkenar üçgen olacak biçimde ayarladığımızda çözümleri kolay gözükmeyen bir çok soru yazmak mümkün olur. Bazı durumlarda eşkenar üçgen oluşturulmasa bile yine bu yöntemle ilginç sorular üretmek mümkündür. Bu yöntemle elde edilen en meşhur özel üçgenler 20-80-80 , 36-72-72, 40-40-100, ... özel üçgenleridir?

Yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi ikizkenar üçgenler oluşturduğumuzda açılar, aritmetik dizi oluşturacak şekilde sıralanmaktadır. Kenar uzunlukları aynı ve taban açıları aritmetik dizi oluşturacak şekilde meydana gelen bu ikizkenar üçgenler bir araya getirildiğinde ilginç şekiller oluşmaktadır.

GAH açısı içinde şekildeki gibi eşit uzunluklarda [AB], [BC], [CD], [DE}, ... doğru parçaları çizildiğinde ABC, BCD, CDE, EFG, ... gibi sonlu sayıda ikizkenar üçgen elde etmek mümkündür. Eğer bu ikizkenar üçgenlerden biri eşkenar üçgen olacak şekilde alfa değeri seçilecek olursa, çözümleri kolayca görülemeyen birçok soru yazmak mümkün olur.

Örneğin CDE üçgeni eşkenar üçgen olacak şekilde alfa değerini 20° olarak seçersek 20-80-80 özel durumlu üçgen elde edilmektedir. Alfa değerini değiştirerek 20-80-80 özel üçgenine benzer daha bir çok (36-72-72, 18-45-117, 30-40-110, ... ) özel üçgen üretmek mümkündür. Bu projede sadece 20-80-80 üçgenini ele alarak nasıl soru üretebileceğimize örnekler vereceğim.

Şekil 2 ve Şekil 3 dikkatlice incelendiğinde: 20-80-80 özel üçgeni içinde LMC eşkenar üçgeni ve diğer ikizkenar üçgenlerinin yanı sıra KLC ve LCB üçgenlerinin de ikizkenar üçgen olduğuna dikkat edelim.

Birlikte 20-80-80 özel üçgeni ile ilgili bir kaç örnek soru yazalım. Ama öncelikle önemli olduğuna inandığım bir uyarı yapmak istiyorum: "Bu tekniğin soru yazma tekniği olduğunu, çözüm tekniği olmadığını bilmelisiniz. Kıyas yöntemi ile cevabı kısa sürede söylemek mümkündür. Yazılan sorunun doğruluğu mutlaka kontrol edilmelidir."

Boş bir BAC 20,80,80 üçgeni alalım ( |AB|=|AC|, mA=20 ) Şekil 2 gösterildiği gibi K ve L noktalarını sırayla C ve B köşelerine birleştirelim. Sırayla ABL, LBC, BCK ve KCA açılarının ölçülerini 30,50,70 ve 10 olarak verelim. Eğer CKL açısının ölçüsünü bulun dersek olimpiyat seviyesinde bir soru hazırlamış oluruz.

Kıyaslama metoduna göre cevabın 10 derece olduğu gayet açıktır. Değişik çözümünü kendiniz yapmaya çalışınız.

Bu sorunun sentetik çözümü tmoz grubuna gönderildiği için çözümü burada tekrar vermiyorum.

|BC|=|CP| ve mBCP=20 derece olacak şekilde [AB] üzerinde bir P noktası alalım. P ile L noktaları birleştirildiğinde önce PCL eşkenar üçgeni sonra |PL|=|LK| eşitliği elde edilecektir. Şekil üzerindeki gerekli tüm açılar hesaplandığında istenen sonucun 160 derece olduğu görülecektir.

Değişik kitaplarda dokümanlarda bu soru ile zaman zaman karşılaşıyoruz. Artık soru sizden korkacak, siz değil !

Boş bir BAC 20,80,80 üçgeninde (|AB|=|AC|,mA=20) Şekil 2 gösterildiği gibi K ve L noktaları alalım, |BC|=|CL|=|LK| eşitliğini verelim ve KLC açısını soralım.

Cevabın 160 derece olduğuna emin misiniz? Hata var diyorsanız sizi tebrik ediyorum. Çünkü sorudaki veri eksikliği kolay fark edilemiyor. Sorudaki verilere göre [AB] kenarı üzerinde iki farklı yerde K noktası alınabilmektedir. K noktası A noktasına yakın alınırsa mKLC=160, K noktası B noktasına yakın alınırsa mKLC=60 derece olacaktır. O halde sorudaki eksikliği gidermek için;

”KLC açısının alabileceği değer en çok kaç derecedir?”, “KLC geniş açısının ölçüsü kaç derecedir?”, “|AK|<|KB| olduğuna göre KLC açısı kaç derecedir?” şeklinde sorulması gerekirdi.

Genel çözüm metotlarından biri olan trigonometrik çözüm yöntemi ile bu sorunun çözümünü yapalım.

Trigonometrik çözüm sentetik çözüme göre daha kolay uygulanabilen genel çözüm yöntemlerinden biridir. Trigonometrik denklemlerinin çözümü kolay olabilseydi, en popüler soru çözüm metodu olabilirdi.

Boş bir BAC 20,80,80 üçgeni alalım ( |AB|=|AC|, mA=20 ) Şekil 2 gösterildiği gibi K noktasını C köşesine birleştirelim. (|AK|=|BC| olacak biçimde) BKC açısının ölçüsünü soralım. İşte olimpiyat seviyesinde bir soru daha yazmış oldunuz.

m ACK = x olsun, bu durumda m BKC = x+20 olacaktır. |BC|=sin20 seçilirse Sinüs teoremine göre diğer kenarlar bulunur. AKC üçgeninde sinüs teoremi uygulandığında;

sin 80.sin x = sin 20.sin (x+20) denklemi elde ediliyor. Bu denklemi sinx=2.sin10.sin(x+20) şeklinde yazarsak x=10 olduğu görülmektedir.

Bu sorunun cevabı 20 derecedir. Trigonometrik veya kıyas metodu ile yapılacak çözümleri kolayca yapılabilir.

Bu sorudan esinlenerek genel bir soru modeli üreterek geometri panosunda geometri severlerle paylaşmıştık. Özellikle panoya gönderdiğim sentetik çözüm görülmeye değer.

Sentetik çözümü tmoz panosunda bulabilirsiniz… 20-80-80 özel üçgeni ile ilgili daha çok soru ve çözüm bulabilirsiniz.

Şimdi de 20-80-80 üçgeninin bir parçasını ele alalım ( 20-80-80 özel üçgeni olduğunu gizleyelim.) Yandaki şekilde |AK|=|LC| mA=20, mC=10 olduğuna göre mKLA=?

[AC] üzerinde |KP|=|AK| olacak şekilde bir P noktası kesinlikle vardır.(mA=20 ve mC=10 olması öyle bir P noktasının varlığını garanti ediyor.)

[AC] üzerinde böyle bir nokta olduğuna göre bu nokta üç değişik yerde olabilir:

1 ve 2. durumlar ele alındığında |AK|=|LC| eşitliğinde çelişki ile karşılaşıyoruz. O halde geriye tek bir durum kalıyor. P noktası L noktasının üzerindedir.

Kıyaslama metodu ile soru çözülebilir mi?

Geometri sorularının çözümünde verilerden yola çıkarak, cevaba ulaşana kadar yeni veriler elde edilir. Buna genel çözüm diyebiliriz. Geometride genel çözüm metotlarından bazıları şunlardır; sentetik çözüm metodu, trigonometrik çözüm metodu, analitik çözüm metodu, çelişki metodu, ...

Kıyaslama metodunda, sorunun verilerinden yola çıkılma zorunluluğu yoktur, elde edilen veriler sorudaki verilerle birebir örtüşüyorsa (birden fazla şekil söz konusu olmuyorsa) kıyas yapmak yanlış olmayacaktır. Genel çözüm, kıyas ile yapılacak çözüme göre daha kolay bir yöntem olduğu için tercih edilmektedir. Kıyas yöntemi, çözüm üretmek için değil, soru üretmek için tercih edilen bir yöntemdir. Çözüm için genel yöntemlerden birini kullanmak daha isabetli olacaktır.

Eyüp Kamil YEŞİLYURT