"Üçgenin içinde öyle bir nokta bulunuz ki bu noktanın üçgenin köşelerine olan uzaklıklarının toplamı minimum olsun."

Bu soru Fermat tarafından Galile' nin öğrencisi ve barometrenin mucidi olan Toricelli' ye (1608-47) sorulmuştur. ( 1 )

Kulübümüzde defalarca bu konu gündeme geldi, bir çok değerli öğretmenimiz bu konuda gerekli açıklamayı da yapmıştı. Şimdi bir şekilde bu problem yine karşımıza geldi. İlerleyen zaman içinde tekrar gündeme gelebileceğini düşünerek bu yazıyı hazırlamaya karar verdim.

Bu problemin genel ifadesi bence şu şekilde olmalıydı: " Üçgen düzleminde öyle bir nokta bulunuz ki bu noktanın üçgenin köşelerine uzaklıklarının toplamı minimum olsun." Şimdi de okuyucu ile aramızdaki iletişimi kolaylaştırmak için sembolik ifadeler kullanalım;

Soru  :
" olan ABC üçgeninin düzleminde alınan bir P noktası için  IPAI+ IPBI+ IPCI  toplamına T diyelim, T nin en küçük değeri için P noktası nerede seçilmelidir?"

Ele aldığımız bu soruda, P noktasının, üçgenin iç bölgesinde olacak şartı koymadığımıza dikkat çekmek istiyorum.

Soruların çözümleri,  ABC üçgenin kenarlarına (dolayısıyla açılarına) bağlı olduğundan tek bir yöntem olmadığını en başta belirtelim. Çözümü üç durumda irdeleyelim.
 

1. Durum : ( ABC üçgenin bir açısı 120 dereceden büyükse ) 
   c,b,a sıralaması verildiğinden olsa olsa mA>120 derece olabilir. Bu durumda T toplamının en küçük olması için, P noktasının A noktası üzerinde seçilmesi gerekir. (ispatı yazının bütünlüğünü bozulmamak için burada vermiyorum) P=A olduğunda da min(T)=c+b olacağı açıktır.

2. Durum : ( ABC üçgeninin bir açısı 120 derece ise )
   Burada söylenecekler 1. durumdakinden farklı değil yine aynı şeyler geçerli. Bunu farklı bir durum olarak ele almamın nedeni ispatından dolayıdır.

3. Durum : ( ABC üçgeninin açıları 120 dereceden küçük ise )
   c,b,a sıralamasına göre mA<120 olduğunu düşünmemiz yeterlidir. Bu durumda T toplamının en küçük olması için, P noktasının Fermat noktası adıyla ifade edilen üçgenin iç bölgesinde bulunan nokta üzerinde olması gerekir. (ispatları Sarmal yayınevi- Matematiğin Gizli Dünyası kitabında bulabilirsiniz)

Şimdi şu soruyu düşünelim: 
"T toplamının en büyük olması için P noktası nerede olmalı?"

Verdiğiniz cevabı duyar gibiyim, çünkü başka bir cevap düşünmek imkansız. P noktası, T nin minimum olduğu noktadan uzaklaştırıldıkça T toplamı büyümeye başlayacak, istediğimiz kadar uzak seçebileceğimizden P noktası sonsuzda seçilebilir ve T toplamı sonsuz büyüklükte değer alabilir.

Soruda P noktası için üçgensel bölgede olacak şartı getirseydik cevabımız ne olurdu?
(Üçgensel bölge denildiğinde aklımıza üçgen ve iç bölgesinin birleşimi gelmelidir)
Üç durumda da, P nin minimum olduğu noktadan mümkün olduğunca uzak olan nokta C noktasıdır. Yani P=C olmalıdır ki max(T)=a+b olacağı çok açıktır.

  P noktası, üçgenin iç bölgesinde olacak şartını getirmiş olsak, min(T)<c+b olur.

 

Peki ispatı bile önceden yapılmış bu soru, neden gündeme geliyor ve tartışılıyor?

Milli eğitim ders kitaplarında şu soru öğrencilere sorulur ve çözümü yapılır. Nitekim ders kitabı olarak yayınlanan kitapta yer alıyor.

Soru: (milli eğitim yayınları geometri 1 ders kitabı - 2001)
         Bir üçgenin iç bölgesinde alınan bir noktanın köşelere olan uzaklıkları toplamının, üçgenin yarı çevresinden büyük, çevresinden küçük olduğunu gösteriniz.
 

 
Bu soru yanlış bir soru mu? Kesinlikle doğru bir soru ve öğretim esaslarına göre öğrencilere öğretilmesi gereken bir bilgi olduğuna inanıyorum. Yazının başında incelediğimiz soruyla da bir çelişki oluşturmaz. Eğer a,b,c değerleri tek tek verilmemişse milli eğitim kitabında yer verilmiş kuralı kullanmak zorunda kalırız. Bir örnek verelim.

Soru:
Çevresi 18 cm. olan bir üçgenin içinde alınan bir P noktasının, üçgenin köşelerine uzaklıkları toplamı kaç farklı tamsayı değer alabilir?
A) 7   B) 8   C) 9  D) 10   E) 11

Çözüm:
u<x+y+z<2u
9<x+y+z<18 aralığında 8 tane tamsayı değer bulunduğundan cevap B dir.

Belki gereksiz olacak ama kendimden örnek vermek istiyorum;
Ben orta ve lise eğitimim boyunca geometri hiç görmedim. Geometri gibi bir dersin olduğunu dersaneye gittiğimde gördüm. Bu kuralı ilk olarak dersane öğretmenimden öğrendim. Testlerimizde değerleri farklı olabilir şuan hatırlamıyorum, hatta öğretmen olduktan sonra bile, bir çok üniversite hazırlık kitaplarında aşağıdaki gibi sorular vardı.

Soru:
Kenar uzunlukları 3,7 ve 8 birim olan bir üçgenin iç bölgesinde bir noktanın, üçgenin köşelerine uzaklıkları toplamı kaç farklı tamsayı değer alabilir?
A) 7   B) 8   C) 9  D) 10   E) 11

Çözüm:
Eğer bu soruyu da bir önceki örnekte olduğu gibi çözersek cevap B şıkkı diyeceğiz. Nitekim bir zamanlar bize öğretildiği gibi bizde bu şekilde öğrettik. Hatta güvendere ait bir kitapta yine böyle bir soru vardı, çözümü ve açıklaması yapılmamış fakat cevap şıkkı bildik yöntemlerle çelişiyordu. O an için bunun baskı hatası olabileceğini düşünmüştüm. Zirve dergisinde bu duruma açıklık getirilene kadar. Yaptığım araştırmalar sonucunda dergide yer verilen kuralın da eksik olduğunu fark ettik ve kulübümüzde gündeme getirerek arkadaşlarımızla tartıştık.

(Matematiğin Gizli Dünyası - David Wells - Çeviri Dr. Selçuk Alsan kitabında bu konuda yeterli açıklamalar yapılmış inceleyebilirsiniz.)

Burada hata, değişik soru peşinde koşarken, sorgulama yapmak ihtiyacı duymayışımız, kendimiz ispatlamadan birileri dedi diye kabul etmemiz yani ezbercilik zihniyetine iyice alışmış olmamızdır.

(Bu ezbercilik zihniyeti o kadar ileri gitti ki çok güvendiğimiz, milli eğitim kitaplarını yazanlar ve onay verenler bile bu hatayı yaptı ve hepimize yaşattı. Bu ifadem şu an konuştuğumuz soru için değil üçgenin ağırlık merkezi meselesi ile ilgilidir. Bunu da kulübümüzü uzun süredir takip edenler bilir. Uygun bir zamanda bu konuyu da hazırlayıp bilgi bankasında yayınlarız.)

Şimdi gelelim ikinci yanlışa:

Öss hazırlık kitaplarında bu konuyla ilgili kural şu şekildedir.

"Kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin iç bölgesinde alınan bir noktanın, üçgenin köşelerine olan uzaklıkları toplamı, üçgenin yarı çevresinden büyük, en uzun iki kenar uzunluğu toplamından küçüktür."

Şimdi yukarıdaki örneği bu şekilde çözelim,

u<x+y+z<max{a+b,b+c,c+b}
9<x+y+z<15
bu aralıktaki tam sayılar {10,11,12,13,14} olmak üzere 5 tanedir. Peki bu sonuç doğru mu? Evet sonuç doğru ama kullanılan yöntem yanlış.

Bu yöntem, her soru için doğru sonuç vermez.Eğer üçgenin kenar uzunlukları 5,7,8 olarak alınırsa bu yöntemle bulunan cevap yanlış olacaktır.


Şimdi sorunun doğru çözümünü görelim.
Bu soru için panoya gönderdiğim çözümü ve o zamanlarda yaşadıklarımızı hatırlamak için çözümü olduğu gibi buraya ekliyorum.
Ö97 < x+y+z < 15
bu aralıktaki tamsayılar {10,11,12,13,14} olduğundan cevap 5 tir.

 

Fermat - Toricelli Noktası :
 

Aslında böyle bir noktanın tanımını yapan bir kaynak görmedim. İngilizce de bilmiyorum, fakat üçgenin özel noktalarını gösteren
bir java  programından anladığım kadarıyla bu nokta; İkişer ikişer aralarındaki açı 120 derece olan PA, PB, PC doğrularının kesiştiği nokta, ABC üçgeninin Fermat - Toricelli noktası olarak kabul ediliyor. Bu noktanın bulunuşu aşağıda verilmiştir.
 

Kısaca ifade etmek gerekirse: ABL ve ACK eşkenar üçgenleri çizilir. [LC] ve [BK] doğru parçalarının kesiştiği nokta, Fermat - Toricelli noktası olarak bilinir.

Uyarı:
Üçgenin düzleminde bulunan ve üçgenin köşelerine olan uzaklıkları toplamı en küçük olan nokta  Fermat - Toricelli noktasıdır. Şeklindeki bir ifadenin yanlış olacağı açıktır.
 

Teorem 1:
" , mA<120 olan ABC üçgeninin düzleminde alınan bir P noktası için  IPAI+ IPBI+ IPCI  toplamı en küçük olduğunda P noktası Fermat noktası üzerindedir."
 

Teorem 2:
" , mA=120 olan ABC üçgeninin düzleminde alınan bir P noktası için  IPAI+ IPBI+ IPCI  toplamı en küçük olduğunda P noktası Fermat noktası olan A noktası üzerindedir. Min (IPAI+ IPBI+ IPCI )=c+b "
 

Teorem 3:
" , mA>120 olan ABC üçgeninin düzleminde alınan bir P noktası için  IPAI+ IPBI+ IPCI  toplamı en küçük olduğunda P noktası A noktası üzerindedir.
Min (IPAI+ IPBI+ IPCI )=c+b "