|
Üç kenarı ve bir açısı tamsayı olan
üçgenler
Meşhur
3-4-5 dik
üçgeni ve benzerlerini veren genel formüller popüler matematik kitaplarını
süsler ama genel formülün nasıl elde edildiğini yazmaz. Nerden geldiğini
bilmediğim bu güzel formüllerin nasıl elde edilebileceğini bulmaya çalıştım.
Sevincimi 2001 de matematik tutkunlarıyla paylaştım. Bu formüllerin açıortay
ile bağlantılarının olduğunu her fırsatta dile getirmişimdir.
Bu projenin
konusu "Üç kenarı ve bir açısı tamsayı olan üçgenlerin varlığını
araştırmaktır." Araştırma sonunda elde edeceğimiz özel üçgenleri
kullanarak alışılmışın dışında sorular yazabilirsiniz.
Bu projenin ilk halinde, bir
açısının derece ölçüsü ve üç kenar uzunluğu tamsayı olan üçgenlerin çok olmadığı
sadece 60, 120
ve 90 derece açılarda bunun mümkün olabileceğini söylemiştim. Ali Nesin bey bu
iddianın ispatının yapılmasının güzel olabileceğini söylemişti. Meraklıları
için bir uğraş daha çıktı. Yine bir kapı açıldı içinden başka bir kapı çıktı…
|
Araştırma
konusu
|
Eşkenar
olmayan ABC üçgeninde hem a,b,c uzunlukları hem de mBAC=x° ölçüsü tamsayı
olan bir üçgen olsun;
Kosinüs teoremine göre a²=b²+c²-2bc.cos x olmalıdır.
Bu eşitlikte a,b,c ve x tamsayı olduğundan cos x in rasyonel olması gerekir.
x=60°, x=90° ve x=120° değerleri için cos x rasyoneldir.
1. durum: x=90°
2. durum: x=120°
3. durum: x=60° olduğunda a,b,c uzunlukları
arasındaki bağıntıları bulalım. | |
|
p,m ve n tamsayı olmak üzere, a=p+n, b=m+n ve c=p olsun;
Kosinüs teoremine göre;
(p+n)²=(m+n)²+p²-2p.(m+n).cos x
2np=m²+2mn-2p(m+n).cos x ...........(*) | |
x=90° ise
|
1. durum: x=90° ise
cos 90°=0 olduğu için (*) eşitliğinden p=(m²+2mn)/2n elde edilir. Üçgenin kenarları m ve n cinsinden yazılıp 2n ile
genişletilirse üçgenin kenarları
c=m²+2mn
b=2n²+2mn
a=m²+2n²+2mn
olmaktadır. Burada m,n yerine doğal sayılar yazılırsa kenarları tamsayı olan
dik üçgenler bulunacaktır.
Örneğin; m=n=1 seçilirse, a=5, b=4,c=3 olan meşhur 3,4,5 üçgeni elde edilir.
Başka değerler verilerek benzer dik üçgenler elde edilecektir. | |
x=120° ise
|
2. durum: x=120° ise
cos 120°=-1/2 olduğu için (*)
eşitliğinden p=(m²+2mn)/(n-m) elde edilir. Üçgenin kenarları m ve n
cinsinden yazılıp (n-m) ile genişletilirse üçgenin kenarları
c=m²+2mn
b=n²-m²
a=m²+n²+mn
olmaktadır. Burada m<n olacak şekilde doğal sayılar yazılırsa kenarları
tamsayı ve bir açısı 120° olan üçgenler elde edilir.
Örneğin; m=1 , n=2 seçilirse, a=7, b=3,c=5 olan 3,5,7 özel üçgeni elde
edilir. Başka değerler verilerek benzer üçgenler elde edilecektir. | |
x=60° ise
|
3. durum: x=60° ise
cos 60°=1/2 olduğu için (*) eşitliğinden p=(m²+2mn)/(3n+m) elde edilir. Üçgenin kenarları m ve n cinsinden yazılıp
(3n+m) ile genişletilirse üçgenin kenarları
c=m²+2mn
b=m²+3n²+4mn
a=m²+3n²+3mn
olmaktadır. Burada m,n yerine doğal sayılar yazılırsa kenarları tamsayı ve
bir açısı 60° olan üçgenler elde edilir.
Örneğin; m=n=1 seçilirse, a=7, b=8,c=3 olan 3,7,8 özel üçgeni elde
edilir. Başka değerler verilerek benzer üçgenler elde edilecektir. |
|
Kenarları ve bir açısı
tamsayı olan özel üçgenlerle ilgili yazılabilecek örnek sorular | |
Örnek 1
|
ABC üçgeninde; |AD|=3 cm, |AG|=1 cm,
|EF|=2 cm, |BD|=|BE|= 4 cm, |CF|=ICGI=7 cm olduğuna göre DKG açısının
ölçüsü kaç derecedir?
Cevap:
30° | |
Örnek 2
|
ABC eşkenar üçgeninde; |AD|=3 cm, |BD|=7 cm, |CD|=8 cm
olduğuna göre ADC açısının ölçüsü kaç derecedir?
Cevap:
120°
Bu soruyu daha zorlaştırmak için ABC eşkenar üçgeninin alanını
sorabilirsiniz. Cevabı yakışıksız çıktığı için sevimsiz bir soru olacaktır.
Uzunlukları değiştirerek alan sorusunu sevimli hale getirebilirsiniz. |
Bu projede elde edeceğiniz üçgenleri, diğer projelerle birlikte
düşünerek zor sorular yazabilirsiniz. Hayal gücünüzü kullanarak daha
orijinal sorular üretmeniz temennisiyle...
Eyüp Kamil YEŞİLYURT
Aralık - 2001
www.tmoz.info
 |
Bu yorumun beslemesine abone olun
