|
Trigonometrik
Oranların Tanımı
Sinüs =
(karşı dik kenar) / (hipotenüs)
Kosinüs = (komşu dik kenar) / (hipotenüs)
Tanjant = (karşı dik kenar) / (komşu dik kenar)
Sekant = 1 / kosinüs
Kosekant = 1 / sinüs
Kotanjant = 1 / tanjant
|
Sinüs,
kosinüs, tanjant, trigonometrik oranları ve bu oranların çarpma işlemine
göre terslerinden elde edilen diğer oranları ;
Sin A = a/b , Cos A = c/b , Tan A = a/c ,
Sec A = b/c , Cosec A = b/a , Cot A = c/a ,
Sin C = c/b , Cos C = a/b , Tan C = c/a ,
Sec C = b/a , Cosec C = b/c , Cot C = a/c
Yukarıdaki tanımlamalardan aşağıdaki sonuçlar elde
edilmektedir.
Sonuçlar:
1. " Ölçüleri toplamı 90° olan iki açının sinüsü
kosinüse, tanjantı cotanjantına, sekantı kosekantına eşittir." Yani, sin x=cos(90-x), tanx=cot(90-x), secx=cosec(90-x) dir. Bu sonucu cins değiştirme olarak hatırlayalım.
2. sin²x =(sinx)² olmak üzere; sin²x + cos²x = 1 dir.
(pisagordan elde edilir)
3. tanx.cotx=1, sinx.cosecx=1, cosx.cosecx=1
4. tanx=sinx/cosx , cotx=cosx/sinx
|
|
Sinüs
Alan Teoremi
A(ABC)=1/2 a.b.sinC
=1/2
a.c.sinB
=1/2
b.c.sinA |
Sinüs Alan Teoreminin
ispatı
yandaki şekilde sinB=|AH|/|AB| ise |AH|=|AB|.sinB olur. Bunu A(ABC)=|BC|.|AH|/2 alan formülünde yazılırsa A(ABC)=(a.c.sinB)/2 eşitliği
elde edilecektir. Diğerleri aynı mantıkla gösterilir.
|
|
Kosinüs
teoremi
a²=b²+c²-2bc.cosA
b²=a²+c²-2ac.cosB
c²=a²+b²-2ab.cosC |
Kosinüs
teoreminin ispatı
|AH|=h ve |BH|=x dersek |HC|=a-x ve cosB=x/c yani x=c.cosB olur. AHB ve
AHC üçgenlerinde pisagor bağıntısı uygulanırsa h²=x²+c²=b²+(b-x)²
eşitliği buradan da b²=a²+c²-2bx elde edilir. x yerine biraz önce elde
edilen x=c.cosB eşitliği yerine yazılırsa b²=a²+c²-2ac.cosB elde edilir.
Diğerleri aynı mantıkla gösterilir.
|
|
Sinüs
Teoremi
a/sinA =
b/sinB = c/sinC
|
Sinüs teoreminin
ispatı
A(ABC) = 1/2 a.b.sinC = 1/2 a.c.sinB = 1/2 b.c.sinA bu eşitlikler
a.b.c ile çarpılıp bölünür ve düzenlenirse sinüs teoremi elde edilmektedir.
Not:
ABC üçgeninin çevrel çemberi çizilerek sinüs
teoremini ispatlaya bilirsiniz. Eğer çevrel çember çizilerek ispat yapılırsa
sinüs teoremine bir eşitlik daha kazandırmış olursunuz.
a/sinA = b/sinB = c/sinC =2R (Geometride R çevrel çemberin yarıçap uzunluğudur.)
Sinüs teoremini geometride kolayca kullanabilmek
için üçgenin kenar uzunluklarını a=sinA, b=sinB, c=sinC olarak alabiliriz. (Yani orantı sabitini 1
alıyoruz.) |
|
Yardımcı
kural
Ölçüleri
toplamı 180° olan iki açının sinüsleri eşittir.
sinx=sin(180-x)
sin0=sin180 |
Yardımcı
kuralın ispatı
A(ABD) =A(ADC) dir. x ve 180-x e göre sinüs alan yazılırsa;
1/2 a.b.sinx = 1/2 a.c.sin(180-x)
sinx=sin(180-x) elde edilir. Burada x=0 yazılırsa sin0=sin180 olduğu görülür.
Yardımcı
kuralı sinüs teoremi ile birlikte düşünelim:
|
|
Toplam
- fark - yarım açı formülleri
sin(x+y)=sinx.cosy+siny.cosx
sin2x=2sinx.cosx
sin(x-y)=sinx.cosy-siny.cosx
sin0=cos90=sin180=0
cos180=-1
cos(x+y)=cosx.cosy-siny.sinx
cos2x=cos²x-sin²x
cos(x-y)=cosx.cosy+siny.sinx
cos0=sin90=1
cos(180-x)=-cosx
|
Toplam - fark - yarım açı formüllerinin ispatı
Yukarıdaki üçgende; sinüs teoremi uygulanarak düzenleme yapılırsa
sin(x+y)=sinx.cosy+siny.cosx elde ediliyor. Bu formüllerinde y yerine x
yazılırsa sin2x=2sinx.cosx elde edilir.
Yukarıdaki üçgende mABC=x, mC=y alınarak, BDC ikizkenar üçgeni elde
edilmiştir. |AD|=sin(x-y) alınırsa |AB|=sin2y , |BD|=sin(x+y) olacaktır. ABC
üçgeninde sinüs teoremi uygulanıp sin2y=2siny.cosy eşitliği kullanılırsa
|AC|=2six.cosy=sin(x-y)+sin(x+y) elde edilir. Biraz önce elde ettiğimiz
toplam formülüne göre sin(x+y) açılımı yapılarak düzenlenirse
sin(x-y)=sinx.cosy-siny.cosx eşitliği elde edilmektedir. Bu eşitlikte y=x
alınıp cins değişikliği ve yardımcı kuralda elde ettiğimiz sonuçlar birlikte
kullanılırsa sin0=sin180=cos90=0 olduğu görülmektedir. Yardımcı kural burada
elde ettiğimiz fark formülüne göre açılırsa cos180=-1 bulunmaktadır.
Cins değişikliği yardımıyla cos(x+y) açılımını bulalım;
cos(x+y)=sin[90-(x+y)]= sin[(90-x)-y]=sin(90-x).cosy-siny.cos(90-x)
=cosx.cosy-sinx.siny elde edilir. Bu formülde y yerine x yazılırsa
cos2x=cos²x-sin²x yarım açı formülü elde edilecektir.
cos(x-y)=sin[(90-x)+y]=sin(90-x).cosy+siny.cos(90-x)=cosx.cosy+siny.sinx elde
edilir. Bu fark formülünde y yerine x alınırsa
cos(x-x)=cosx.cosx+sinx.sinx=cos²x + sin²x = 1 olur cins değişikliği de
dikkate alınırsa cos0=sin90=1 olduğu görülür.
cos(180-x)=cos180.cosx+sin180.sinx= - cosx elde edilir.
|
|
Negatif
açıların trigonometrik oranları
sin(-x)= -
sinx
cos(-x)= cosx
tan(-x)= - tanx
cot(-x)= - cotx |
sin(-x)=sin[180-(180+x)]=sin180.cos(180+x)-sin(180+x).cos180
=+sin(180+x)=sin180.cosx+cos180.sinx= - sinx
cos(-x)=cos[180-(180+x)]=cos180.cos(180+x)+sin180.sin(180+x)
= - cos(180+x)= - cos180.cosx+sin180.sinx= + cosx
tan(-x)= sin(-x) / cos(-x) = -sinx / cosx = - tanx
|
|
Tanant ile ilgili açılımlar
tan(x+y)= tanx+tany / 1-tanx.tany
tan2x=2tanx/(1-tan²x)
tan(x-y)= tanx-tany / 1+tanx.tany
tan0=cot90=0
tan90=cot0= tanımsız |
tan(x+y)=sin(x+y)
/ cos (x+y) =(sinx.cosy+siny.cosx)/(cosx.cosy-siny.sinx) pay e payda
cosx.cosy parantezine alınıp düzenlenirse tan(x+y)= tanx+tany / 1-tanx.tany elde edilir. Burada da y yerine -y yazılırsa tan(x-y)=
tanx-tany / 1+tanx.tany elde edilir. |
|
Dönüşüm ve ters dönüşüm formülleri
sinx.cosy=1/2
[sin(x+y)+sin(x-y)]
sinx+siny=2.sin[(x+y)/2].cos[(x-y)/2]
|
Dönüşüm
ve ters dönüşüm formüllerinin ispatı
sin(x+y)=sinx.cosy+siny.cosx ve sin(x-y)=sinx.cosy-siny.cosx açılımları taraf
tarafa toplanıp düzenlenirse sinx.cosy=1/2 [sin(x+y)+sin(x-y)] elde edilir.
Bu eşitlikte x yerine (x+y)/2 ve y yerine (x-y)/2 yazılıp düzenlenirse
sinx+siny=2.sin[(x+y)/2].cos[(x-y)/2] elde edilir.
Diğer dönüşüm formüllerini bilmeye gerek yoktur cins değişikliği ve negatif
açının trigonometrik oranı yardımıyla bu formüllere benzetme yapılır.
Örneğin;
cos10.cos20=sin80.cos20
cos10+cos20=sin80+sin70
cos10.cos100= - sin80.sin10 gibi basit cins değişiklikleri uygulanır. |
Bu yorumun beslemesine abone olun
