Trigonometri - Geometri İlişkisi 2

ï»¿

Yazar Administrator

Trigonometri - Geometri İlişkisi 2
Özel açıların trigonometrik değerleri

Bu projemiz bir önceki projemizin devamı gibi düşünülebiliriz. Burada gerekli yol gösterildikten sonra yapılması gereken işlemler ziyaretçiye bırakılacaktır. Ayrıca projemizin sonunda bir pratik bilgi bulacaksınız.

30° ve 60° nin trigonometrik oranları	Açıları 30 ve 60 olan dik üçgende muhteşem üçlü uygulanırsa yandaki şekilde gösterildiği gibi eşkenar üçgen elde edilecektir. Dik üçgende pisagor bağıntısı da kullanılarak tüm kenar uzunlukları bulunup trigonometrik oranlar yazılırsa; sin30=cos60=1/2 sin60=cos30=Ö3/2 tan30=cot60=1/Ö3 tan60=cot30=Ö3
45° nin trigonometrik oranları	İkizkenar dik üçende pisagor bağıntısı uygulanırsa; sin45=cos45=1/Ö2 tan45=cot45=1
15° ve 75° nin trigonometrik oranları	Açıları 15 ve 75 olan dik üçgende yandaki şekilde görüldüğü gibi bir doğru parçası çizilip gerekli düzenlemeler yapılırsa; sin15=cos75=(Ö3-1) / 2Ö2 sin75=cos15=(Ö3+1) / 2Ö2 tan15=cot75=(Ö3-1) / (Ö3+1) tan75=cot15=(Ö3+1) / (Ö3-1) Uyarı: sin15=sin(45-30) gibi açılımlardan faydalanarak da bu değerlere ulaşabilirsiniz.
22,5° ve 67,5° nin trigonometrik oranları	Açıları 22,5 ve 67,5 olan dik üçgende yandaki şekilde görüldüğü gibi bir doğru parçası çizilip gerekli düzenlemeler yapılırsa; tan22,5=cot67,5=(Ö2-1) tan67,5=cot22,5=(Ö2+1)
18° ve 72° nin trigonometrik oranları	72,72,36 ikizkenar üçgeninde şekildeki gibi açıortay çizilerek açıortay teoremi uygulanırsa; b/a = (a+b) / b orantısı elde edilir. Bu orantıdan b/a oranını hesaplamak için b/a=t alınırsa t²-t-1=0 ikinci derece denklem çözülerek t=(1+Ö5)/2 elde edilir. Bu oran b/a olduğu için yandaki şekilde a=2 alınırsa a+b=3+Ö5 olur. Şimdi bu ikizkenar üçgenin tabanına ait yükseklik çizilerek gerekli işlemler yapılırsa; sin18=cos72=(Ö5-1) / 4 cos18=sin72=(Ö5+5) / 2Ö2 = (Ö5+5).Ö2 / 4 tan18=cot72=(3-Ö5) / 2Ö5
12°, 36° , 48° , 54° ve 78° nin trigonometrik oranları	sin12=sin(30-18) =cos78= ... cos36=cos²18-sin²18=sin54=... gibi trigonometrik bağıntılarla değerleri hesaplayabilirsiniz. Hesaplamalar sonucunda elde ettiğim değerleri buraya yazmak istiyordum fakat html sayfasında bu değerleri yazmak kolay olmayacak, belki ilerleyen zaman içinde resim formatında bulduğum değerleri yazarım. Ödev hazırlayan arkadaşlarımız için bu kadarlık yol gösterme yeterli olur düşüncesiyle trigonometrik değer hesaplamalarına nokta koyuyorum.

Şimdi öss de ya da olimpiyatlarda kullanılabilecek bir pratik vereyim;

1. adım: Akılda tutabileceğim bir sinüs tablosu hazırlayalım. Bu tabloyu hazırlarken Geometride sıkça "90°nin karşısında x varsa 30° nin karşısında x/2 vardır" şeklinde kullandığımız tarzda bir pratikten bahsediyorum.
Bunun için ben aşağıdaki şekilde iki tablo hazırladım. Birinci tabloyu hazırlarken olimpiyatı düşünerek 18 dereceyi, ikinci tabloyu hazırlarken öss hazırlığı düşünerek sadece 15 dereceyi kapsayacak şekilde oluşturdum. Eğer 15 derecelik açıya da gerek yok diyorsanız tablo 3 sizin için yeterli olacaktır.

90° karşısında	4 olsa
30° karşısında	2
60° karşısında	2Ö3
45° karşısında	2Ö2
15° karşısında	(Ö3-1).Ö2
75° karşısında	(Ö3+1).Ö2
18° karşısında	Ö5-1
54° karşısında	Ö5+1

Tablo 1

90° karşısında	2Ö2 olsa
30° karşısında	Ö2
60° karşısında	Ö6
45° karşısında	2
15° karşısında	Ö3-1
75° karşısında	Ö3+1

Tablo 2

90° karşısında	2 olsa
30° karşısında	1
60° karşısında	Ö3
45° karşısında	Ö2

Tablo 3

       Örnek 1   Aşağıdaki şekilde x=?

Muhtemel olarak dik üçgen oluşturarak bu soruyu çözmeye çalışıyorsunuz. Fakat buna hiç gerek yok ! Tablo 3 e göre 60 derece karşısında kÖ3 varsa 45 derece karşısında kÖ2 olduğunu görüyorum o halde x=3Ö2 olacaktır.

         Örnek 2   Aşağıdaki şekilde verilen üçgeni 30-30120 özel üçgeni olarak tanıyorsunuz. Bu üçgeni dikkatli incelerseniz çok kullanışlı dediğim pratiği biraz daha iyi anlayacaksınız.

Tablo 3 e göre 30 derece karşısında 1 varsa 60 derece karşısında Ö3 olduğunu görüyorum. Fakat şekilde 120 derecenin karşısındaki kenar Ö3 verilmiş demeye hiç gerek yok. Çünkü sin120=sin60 olacağını bildiğimize göre Ö3 uzunluğu karşısındaki dar açıyı düşünmem yeterli olacaktır.

       Örnek 3   Aşağıdaki şekilde x=?

Tablo 2 ye göre 15 derece karşısında Ö3-1 varsa 75 derece karşısında Ö3+1 olduğunu görüyoruz. Zaten şekilde de x in karşısındaki dar açı 75 derece olduğu için x=Ö3+1 olur.