Geometri Asistanı ile Cevabının 30 derece olduğunu bulabileceğiniz aşağıdaki soruya sentetik çözüm üreteceğiz.
   

Çözüm için 1. Aşama: Şekli anlamak.
 
       Şekilde bilinmeyen diğer açıları buluruz ve BAC üçgeninin ikizkenar üçgen olduğunu fark ederiz. Bu tür sorularda genelde çözüme götüren yolun eşkenar üçgen yerleştirme olduğunu diğer projelerden biliyoruz. O halde bir eşkenar üçgen yerleştirmeyi düşünelim. Şekilde değişik yerlerde eşkenar üçgen oluşturmak mümkün ben aşağıdaki gibi bir eşkenar üçgen yerleştiriyorum.

       Şekilde mABE=30 olduğunu bildiğim için Bu açıyı 60 dereceye tamamlayacak biçimde şekildeki gibi bir eşkenar üçgen yerleştirerek nasıl bir durum olacağına bakıyorum. Açıları yerleştirdiğimde K, D ve C noktalarının doğrusal olduğunu fark ediyorum.
(mCDE + mBDE + mKDB = 180) Diğer taraftan IAKI=IAEI=IKEI=IECI=IEFI eşitlikler karşıma çıkıyor. Bu aşamadan sonra açıları 50,50,80 olan ABC üçgeni içinde mBAE=30 derece olacak şekilde [AE] doğru parçası verilmiş olsa diğer tüm açıları kolayca yerleştirebileceğimiz anlaşılıyor. mBAE=30 olduğunu verilmediği için sorudaki üçgende bu yaptıklarımızı uygulamak karışıklığa yol acacak. Bunu gerçekleştirmek için ABC üçgenin simetriğini alarak aynı işlemleri simetriğine uyguluyorum. Yalnız ilk örneğimiz olduğu için biraz daha ayrıntılı açıklama yapmaya çalışacağım.
(Siz değişik bir kenara göre simetri alabilirsiniz. Kullandığımız kenar ve açılardan dolayı ben örneğimiz de ABC üçgenin [BC]  kenarına göre simetriğinin en uygun tercih olduğunu düşünüyorum.)

ABC üçgenin [BC] kenarına göre simetriği: Örnek 1 üzerinde düşünelim

          Oluşturduğum simetride biraz önce yerleştirdiğim biçimde şekli tamamladım. Şimdi bunu sorunun çözümünde nasıl kullanabilirim? Nasıl bir izah tarzı geliştirebilirim diye düşünmeye başlamalıyım. Bunu yaparken artık cevabı bilmediğimizi unutmayalım.

        Çözüme izah yapmaya çalışalım.

   1. Adım: Soruyu çizdikten sonra ICEI=IELI olacak şekildeki gibi CEL ikizkenar üçgenini çizelim.
   2. Adım: mBCK=20 derece ICEI=IEKI olacak şekilde KEC ikizkenar üçgenini oluşturuyorum.  
   3. Adım: Bu durumda mLEK=60 ve IELI=IEKI olduğundan EKL eşkenar üçgeni meydana geliyor.
   4. Adım: EKL eşkenar üçgeninde [LM] açıortayını çiziyorum. (Fakat [LM] açıortayının B noktasından geçeceğini henüz bilmiyoruz)
   5. Adım: CK ile biraz önce çizdiğimiz açıortay M noktasında kesişsin. Bu durumda EMK ikizkenar üçgeni elde edilir. Şimdi tek sorunumuz [LM nin B noktasından geçeceğine izah bulmak.

   6. Adım: DCE ile MCE eş üçgenler olduğundan IDEI=IEMI dir. [EN] ve [MH] dikmeleri çizilirse EHM ve END dik üçgenlerinin eş üçgenler olduğu görülür.

   7. Adım: [BH] çizilirse BNE ile BHE üçgenleri KAK teoremine göre eş olurlar. Buna göre mNBE=mEBH=50 ve mBHE=90 olduğu bulunur. O halde [LM, B noktasından geçmektedir.
   8. Adım: Şimdiye kadar bulduğumuz bilgilere dayanarak AKA eşlik teoremine göre ABC ile LBC üçgenlerinin eş üçgenler olduğunu söyleyebiliriz. Diğer yandan da AEC ile LEC eş olduklarından LEB ile AEB üçgenleri de eş demektir.

  O halde mBAE=mBLE=30 derece bulunur. Buraya kadar en çok kullanılan bilgilerle izah için biraz uzun sürdü daha kısa şekilde bu adımları izah etmek mümkün bunu sizler yapabilirsiniz.
                   

Çözümün Final Adımı:
                      Şimdiye kadar yaptığınız çözümde fazlalık olduğuna inandığınız bilgilere hiç değinmeden çözümü en sade şekilde ifade etmek kaldı. Bunu değişik biçimlerde yapabilirsiniz. Bu adımı size bırakıyorum. Bunun yerine aşağıdaki basit örneklerle simetri metodunu anlamaya çalışalım.

Cevabını bildiğimiz basit bir soru oluşturalım. 

     Soru:

  
     IABI=IDCI, mB=20, mC=10 derece olduğuna göre mADB=?

1. yol:
 
     Açıklama:
                    mACK=10, mAKC=20 olacak şekilde bir K noktası alalım. ABC ile AKC üçgenleri AKA teoremine göre eştir. (ABC üçgenin AC doğrusuna göre simetriğini almış olduk) Yani IAKI=IABI, IKCI=IBCI olur.
                   KC üzerinde IKAI=IALI olacak şekilde bir L noktası alalım. mALK=20, mCAL=10 derece olur. Bu durumda IABI=IDCI=IAKI=IALI=ILCI olduğunu görmüş oluruz. Amacımız IADI=IALI eşitliğini göstermek. D ve L noktaları birleştirildiğinde DLC ikizkenar üçgeninde CA açıortay olacağından [DL] kenarının kenarortayı ve yüksekliği durumunda olacaktır. Bu durumda da LAD üçgeni için AC, [DL] kenarının hem yüksekliği hemde kenarortayı olacağından ikizkenar olduğu görülecektir. IALI=IADI elde edilecektir. ALCD eşkenar dörtgen olacağından mADB=20 bulunacaktır.

2. Yol:Örnek 1 üzerinde düşünelim

3. Yol:

          Çözüm için gerekli açıklamaları kendiniz yapmaya çalışınız. Bunların yerine daha karışık bir yapıda olan aşağıdaki soruyu izah edeyim.
                   

Örneğimizi biraz daha zorlaştıralım ve sorudan soru üretmek tekniğini biliyorduk şimdi de çözümden çözüm üretmek için simetri metodunu nasıl kullandığımızı görmenizi istiyoruz.
                     
             İnan teoremi veya Geometri asistanı ile cevabı x=10 olduğunu kolayca buluyorum. Daha önceki örnekte de olduğu gibi ilk aşama olarak soruyu inceleyip anlamaya çalışmamız gerekecek. (Simetri çözüm metodu alışkanlık kazandığımızda cevabı bilmeden de çözüm tekniği olarak kullanılabileceğine inanıyorum.)

            Örneğimizdeki soruyu, olimpiyat soru tipleriyle ilgilenenlerin yabancı olmadıkları hatta öss düzeyinde kitaplarda bile yayınlanacak kadar meşhur ve çok eski bir soruyu simetri metodunun anlaşılabilmesi için seçtim. (Sorunun orijinali mACD=mDCB=mABD=10, mDBC=20 verilip mBAD=?)   
           

1. Aşama: Soruda verilen şeklin incelenmesi: IAKI=IKDI=IDBI=IBKI olduğu görülüyor.

2. Aşama: Simetri yöntemiyle sorunun çözümü:

Açıklama: (ABC üçgenin [BC] kenarına göre simetriği alınarak elde edilmiş bir çözüm olduğu açıktır)
1. Adım: . mBCK=20, mCBL=30 olacak şekilde LBC üçgenini oluşturalım. LBC üçgeni ile ABC üçgeni AKA teoremi gereği eş üçgenlerdir. Buradan, IABI=IBLI, IACI=ICLI olur.
2. Adım: Şekildeki gibi IBCI=ICKI olacak şekilde BCK ikizkenar üçgenine tamamlayalım.
3. Adım: BCK ikizkenar üçgenin [CH] yüksekliğini çizelim.
4. Adım: [BK] kenarını kenar kabul eden MBK eşkenar üçgeni oluşturalım ve şekildeki gibi açıları hesaplayalım.
** Eğer 1. Aşamayı yaparak buraya kadar gelinmişse bu adımda sorulan x açısının 10 derece olduğu hemen söylenebilir. Eğer 1. aşama hiç yapılmadan buraya kadar gelinmişse bir iki adım daha ilerlemek uygun olur.
5. Adım: Buraya kadar elde edilen bilgilerden ABD ile BLM üçgenleri AKA teoremine göre eş olur.
6. Adım: ADC ile LMC üçgenleri AKA teo. gereği eş olurlar ki buradan x=10 olduğu bulunur.
 

Simetri Çözüm Tekniğine Hasip Yılmazoğlu Hocamızdan örnekler