Faktöriyel notasyonu kombinatör konusunda karşımıza çıkıyor. Kombinatör konusunda edinilen tecrübelere göre 0! =1 alınması hiç bir sorun çıkarmadığı gibi, bir açığında kapanmasına vesile olduğu görülmüş ve matematikçiler tarafından 0! = 1 biçiminde kabul edilmeye başlanmıştır. Bu kabul faktöriyel tanımıyla çelişki oluşturduğu için, özel olarak sıfırın faktöriyeli tanım olarak verilmiştir.
       
    TANIM (2): (sıfırın faktöriyeli)
    Sıfır sayısının faktöriyeli 1 dir yani 0! = 1 dir.

    Bu aşamada biraz önce anlamsız olduğunu söylediğimiz ifadeye tekrar bakalım;
   (n+1)!=(n+1).n! eşitliğinde n=0 yazabilme hakkımız artık var. 1!=1.0! eşitliğinden 0!=1 tanımı bir kez daha desteklenmiştir. Fakat bu işlemler neticesinde 0!=1 eşitliğinin ispatını yaptım diyemezsiniz.

    Faktöriyel notasyonu eksiksiz tanımlanmıştır. Bu aşamada yapılacak tanımlara faktöriyel diyemez ve ! notasyonunu kullanamazsınız. Bunu değiştirmeye hiç mi hakkımız yok? Hayır yep yeni bir tanımla faktöriyel kavramını elbette değiştirebilirsiniz bunun için eski tanımı tamamen ortadan kaldırmanız gerekir ya da yeni tanımınızın eski tanımı içerecek mahiyette olmalıdır. Bunu gerekli gören matematikçiler ihtiyaçları varsa gerekli değişikliği yapacaklardır!

   Mevcut faktöriyel tanımına göre faktöriyel fonksiyonu tanımlayalım;

   Faktöriyel fonksiyon
   n doğal sayı olmak üzere y=f(n)=n! fonksiyonuna faktöriyel fonksiyon denir. Faktöriyel tanımı gereği, faktöriyel fonksiyonu doğal sayılardan pozitif doğal sayılara tanımlı bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun en önemli özelliği f(n+1)=(n+1).f(n) olmasıdır. (Buna rekürsiyon özellik derler)

   Gamma fonksiyonu (http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html)

     notasyonu ile gösterilen ve

  
   bağıntısıyla tanımlanan fonksiyona gamma fonksiyonu denir. Bu integral n>0 için yakınsaktır ve gamma fonksiyonu için rekürsiyon formülü

biçimindedir. Özel olarak n pozitif tamsayı ise

fonksiyonuna faktöriyel fonksiyon denir.

Gamma fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

  

      Gamma fonksiyonu ile ilgili daha geniş bilgi http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html sayfalarından elde edilebilir.

   Gamma fonksiyonu, faktöriyel fonksiyon ya da genelleştirilmiş faktöriyel fonksiyon değildir. Başlı başına tanımlı bir fonksiyondur ve özel olarak faktöriyel fonksiyonu ile gamma fonksiyonu eşittir. (Bu eşitlik tüm sayılar için geçerli olan bir eşitlik değildir. dikkat edilmesi gerekir.)
   Gamma fonksiyonu için bazı değerlere örnek verelim;

  
   Bu yazılış ve gösterimleri, faktöriyel tanımını göz ardı ederek,

biçiminde göstermek bilimsel bir gaftır.
"Bu gösterimlerin ne zararı var şimdiye kadar yoksa bile şimdiden sonra olsun"  demek ne kadar doğru olur bilemiyorum..

      Bu gaflar biter mi ?

     1.) Sizce karekök 1 neye eşit? sadece 1 mi?
    

   2.) Şimdiye kadar asal sayıların tanımı eksik yapılmıştır. Bu eksikliği giderdim ve yeni bir tanım yaptım;
Asal Sayı: Pozitif tam bölenleri kümesi iki elemanlı olan tamsayılara asal sayı denir.
7 asal sayıdır pozitif tam bölenler kümesi {1,7} iki elemanlıdır.
-7 asal sayıdır pozitif tam bölenler kümesi {1,7} iki elemanlıdır.
1 asal sayı değildir. Pozitif tam bölenler kümesi {1} bir elemanlıdır.
4 asal sayı değildir. Pozitif tamsayılar kümesi {1,2,4} üç elemanlıdır.
1/2 tamsayı olmadığından asal sayı değildir.
 

   3.)  Bir dik açının ölçüsü 90 derece değil aslında 2,5 derecedir. İşlemleri ve gösterimi daha kolay olduğu için bir çemberi 360 eş parçaya değil, 10 parçaya bölüp bir parçasına 1 derece dedim. Şimdiye kadar dememişler ama şimdiden sonra denilmesinde ne gibi bir mahsur olabilir anlamıyorum !?.