Şekil 1                                                           Şekil 2                                                          Şekil 3

                            Şekil 4                                                         Şekil 5                                                          Şekil 6

                        Şekil 7                                                             Şekil 8                                                           Şekil 9

                         Şekil 10                                                           Şekil 11                                                        Şekil 12
 

Araştırma yapmayı sevenler için güzel bir çalışma örneği yukarıdaki üçgenlerin birbirinden nasıl elde edilebileceğini ve
bu üçgenlerin birbiriyle nasıl bir bağlantı içinde olduklarını araştırabilirsiniz. En az 12 tane ilişkilendirme yapılabilmeli.

İlişkilendirme 1 :
(a1,a2,b1,b2,c1,c2) inan altılısından elde edilebilen (a1,b2,c1,a2,b1,c2) altılı arasındaki sentetik ilişki. (Şekil 1-Şekil 7 arasındaki ilişki)
[AP, [BP ve [CP ışınlarının, ABC üçgeninin çevrel çemberini kestiği noktaları köşe kabul eden üçgendir.
Şekilleri birbirinden ayırt edebilmeniz için tüm şekillerin a1 indisiyle başlattığımıza dikkat etmeniz gerekir.

İlişkilendirme 2 :
(a1,a2,b1,b2,c1,c2) inan altılısından elde edilebilen (a1,c2,c1,b2,b1,a2) altılı arasındaki sentetik ilişki. (Şekil 1-Şekil 12 arasındaki ilişki)

Aşağıdaki şekilde, O noktası ABC üçgenin, A' noktası PBC üçgeninin, B' noktası PAC üçgeninin ve C' noktası PAB üçgenin çevrel
çember merkezleridir.
Burada elde ettiğimiz ilişki bile başlı başına bir problem olarak değerlendirilip ispatı da istenebilir. Bir kapıyı aralıyorsunuz,
karşınıza bir kapı daha çıkıyor. Bu geometri ne müthiş bir şey öyle değil mi? Şu şekle biraz dikkatli bakınca siz hangi kapıları
fark edeceksiniz acaba ?
Uyarı: O noktası A'B'C' üçgenin çevrel çemberi olmak zorunda değildir.
 

İlişkilendirme 3 :
(a1,a2,b1,b2,c1,c2) inan altılısından elde edilebilen (a1,a2,c1,c2,b1,b2) altılı arasındaki sentetik ilişki. (Şekil 1-Şekil 3 arasındaki ilişki)
mABC=mAKC olacak şekilde BC üzerinde bir K noktası alınarak, ABC üçgeniyle A.A benzerliği olan KAC üçgeni oluşturuluyor.
mPBA=b1=mP'AC olacak şekilde CP üzerinde bir P' noktası vardır.
Şekil 1 için inan altılısı bileşenlerine göre elde edeceğimiz şekil farklı olabilmektedir. Örneğin, aşağıdaki şekilde, a1>b1+b2
kabul edilerek çizim yapılmıştır ve P', P ile C arasında çizilmiştir. Bazı durumlarda da P, P' ile C arasında olabilir fakat ilişkilendirmede
farklılık olmamaktadır.
Not: Yazımızın ileryen bölümlerinde model ve ana modellerden bahsedeceğiz. Modellerde, APKP' dörtgeni,
kirişer dörtgeni, deltoid gibi özel dörtgen olarak karşımıza çıkmaktadır.

İlişkilendirme örneklerini burada bırakıp şimdi diğer ilginç durumları irdelemeye çalışalım.

Model :
Soru bankası ve alıştırma kitaplarında değerleri değiştirilmiş fakat aynı yolla çözülebilen bir çok soru olduğunu görürüz.
Bu çeşitlilik öğrencilerin kendi kendilerine soru çözme yeteneğini geliştirmeleri için yararlıdır. Öğretmenlerimizin işlerini
kolaylaştırmak amacıyla 1999 dan itibaren gerek panolarımızda, gerekse bilgi bankasında modeller adıyla örnek çalışmalar
yayınlamaktayız. Modeller ilk yayınlandığından itibaren çok ilgi çekmiş ve öğretmen arkadaşlarımızın da katkılarıyla çeşitlilik
arttırılmıştır. Modellerin nasıl hazırlanacağını bilgi bankamızda "Sorudan soru üretmek" başlıklı yazımızda bulabilirsiniz.
Modelleri düzene koymak amacıyla 2002 den beri ara ara çalışmalar yapmaktayız. Bilgi bankasında " 1. Ana modelden bir sorunun
incelenmesi" başlıklı yazımızda 4 ana modelden söz ettik ve henüz 2 tanesinin hiç bir yerde yayınlanmadığını söylemiştik.
Şimdi bu yazımızda bu ana modellerin hepsini istifadenize sunuyoruz.

1. Ana Model :

      Teorem 1 : (1. ana model teoremi)
      a1= t , a2=2t , b1=30-t , b2= 30-t , c1=90-t , c2=30 şeklinde t parametresine göre yazılan ( t , 2t , 30-t , 30-t , 90-t , 30 )
     altılısı, inan altılısıdır.
 

İspatlara geçmeden önce tüm ana modelleri verelim ve bazı durumlara dikkatinizi çekmiş olalım:
Burada matematiksel dönüşümlerle verdiğimiz inan altılısını değişik biçimlerde ifade etmek mümkündür. Örneğin; 30-t=m dönüşümü yaparsak (30-m,60-2m,m,m,60+m,30) şeklinde ifade edilebilir.
Farklılığı ilk bakışta fark edilemeyen bu durum panomuza gönderilen modellerde görülmüştür. (Yani aynı modellerin, değişik bir modelmiş gibi algılanmasına neden olmuştur.) Ana modeller diğer modellerle karıştırmamak için t parametresine tamsayı değerler vererek tablolar oluşturacağız. Siz t parametresine tamsayı olmayan değerler de verebilirsiniz, fakat tamsayı olmayan değerlerle elde edilecek soruların sevimsiz, işlem yığını olan estetikten uzak sorular olarak değerlendirileceğini düşünüyorum.
 

Tablo 1 - (1. Ana Model tamsayı değer tablosu)

2. Ana Model :
 

      Teorem 2 : (2. ana model teoremi)
      a1= t , a2=2t , b1=30-2t , b2= 30-2t , c1=90+t , c2=30 şeklinde t parametresine göre yazılan ( t , 2t , 30-2t , 30-2t , 90+t , 30 )
     altılısı, inan altılısıdır.
 

 Tablo 2 - (2. Ana Model tamsayı değer tablosu)

3. Ana Model :
 

      Teorem 3 : (3. ana model teoremi)
      a1= t , a2=2t , b1=30-2t , b2= 30-2t , c1=90+t , c2=30 şeklinde t parametresine göre yazılan ( t , 2t , 30-2t , 30-2t , 90+t , 30 )
     altılısı, inan altılısıdır.
 

 Tablo 3 - (3. Ana Model tamsayı değer tablosu)
 

4. Ana Model :
 

      Teorem 4 : (4. ana model teoremi)
      a1= t , a2=2t , b1=30-2t , b2= 30-2t , c1=90+t , c2=30 şeklinde t parametresine göre yazılan ( t , 2t , 30-2t , 30-2t , 90+t , 30 )
     altılısı, inan altılısıdır.
 

 Tablo 4 - (4. Ana Model tamsayı değer tablosu)