|
Merkezil Dörtgen
Bu yazıda özellikle
olimpiyat sorularını çözmeyi kolaylaştırmak amacıyla “merkezil dörtgen”
tanımını yapacağız. Bu tanımlama MEB müfredatında olmadığı dikkate alınmalıdır.
.
Merkezil beşgen,
merkezil altıgen,..., merkezil çokgen özeliklerini araştırabilirsiniz…
Tanım
OABC merkezil
dörtgen ise O köşesi, A,B,C köşelerine eşit uzaklıktadır. Ayrıca dörtgenin O
merkezli A,B,C noktalarından geçen bir çemberi vardır. Bu çembere OABC merkezil
dörtgeninin merkezil çemberi denir. ABC üçgenine OABC merkezil dörtgeninin asıl
üçgeni denir.
Özellikler
-
Asıl üçgen dik üçgen olamaz.
- Merkezil dörtgen konveks ise
asıl üçgen geniş açılı bir üçgendir.
- Merkezil dörtgen konkav ise
asıl üçgen dar açılı bir üçgendir.
- Merkezil dörtgen paralelkenar
ise aynı zamanda eşkenar dörtgen ve asıl üçgeni 30,30,120 özel üçgenleridir.
- Asıl üçgen ikizkenar ise
merkezil dörtgen deltoittir.
- Merkezil dörtgenin köşegenlerinden
birinin uzunluğu çemberin yarıçap uzunluğu kadardır.
- Merkezil dörtgen dikdörtgen
veya kare olamaz.
Kural (üç yarıçap kuralı)
Bir köşesi ortak ve eşit uzunlukta alınan üç
doğru parçasının diğer köşeleri çemberseldir. Üstelik ortak olan köşe bu
çemberin merkezidir.
Buna göre;
OABC dörtgenin merkezil dörtgen
olması için gerek yeter koşul |OA|=|OB|=|OC| olmasıdır.
Konveks Merkezil Dörtgen
ABCD konveks merkezil dörtgen ise
1- |AB| = |AC| = |AD|
2- mBAD = 2.mDCE
3- mBAC = 2.mBDC
4- mCAD = 2.mDBC
5- mBCD > 90°
6- BCD asıl üçgendir.
Bir dörtgende en az hangi
bilgiler verilmeli ki dörtgenin merkezil dörtgen olduğunu anlarız?
Konkav Merkezil
Dörtgen
ABCD konkav merkezil dörtgen ise
1- |AB| = |AC| = |AD|
2- mBAD = 2.mBCD
3- mBCD < 90°
4- BCD asıl üçgendir.
|
Merkezil dörtgen olma şartları ve soru yazma
tekniği | |
1) Genel şart |
Herhangi bir dörtgeninde, tanımı gereği bir köşesi diğer köşelere eşit
uzaklıkta ise merkezil dörtgen olduğu açıktır. | |
2)
|
|AB|=|AC| olacak
şekilde BAC ikizkenar üçgendir. BC doğrusuna göre A tepe noktası ile aynı
bölgede bulunan bir K noktası alınarak mBKC=mBAC / 2 verilirse (her iki açı
da [BC] kenarını görüyor) B,C ve K noktalarını köşe ve A noktasını merkez
kabul eden bir merkezil dörtgen oluşur.
Yani |AB|=|AC|=|AK| olur.
Yan tarafta konveks bir şekil çizilmiştir fakat aynı şartlara uygun konkav
merkezil dörtgen de oluşabilirdi. Soru hazırlanırken ABCK dörtgeni çizilerek
konveks ya da konkav olduğunu belirtmek uygun olur. | |
3)
 |
ABCD konveks
dörtgeninde; |AB|=|AD| ve mBAD=2.mDCE olarak verilirse ABCD merkezil dörtgen
olur.
Yani |AB|=|AD|=|AC| olur. |
|
Basit örnekler | |
1) Örnek
|
ab iki basamaklı bir sayı olmak üzere; şekilde |AB|=|AC|=|AD|, mCBD=a°+b° ve
mCAD=ab° olduğuna göre ACD açısının ölçüsü aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ab B) ba C)
54 D) 63 E) 72 | |
2) Örnek
|
ABCD konveks dörtgeninde, mABC=mACB=mBDC=45° ve mDCB=15° olduğuna göre ABC
ikizkenar dik üçgeninin alanı ADC üçgeninin alanının kaç katıdır? | |
3) Örnek
|
ABCD konveks dörtgeninde; ABD eşkenar üçgen, mBCD=150° ve mACB=70° olduğuna
göre mDBC=? |
Burada
anlatılan bilgilerle yazabileceğiniz soruları diğer projedeki bilgilerle
birleştirerek daha zor veya orijinal sorular yazabilirsiniz. İspatları
trigonometrik olarak yapabilirsiniz. Eğer trigonometrik olarak ispat
yaparsanız bulacağınız değerleri mutlaka kontrol etmelisiniz aksi halde
yukarıda verilen bilgilerin hatalı veya eksik olduğunu düşünebilirsiniz.
Eyüp Kamil
YEŞİLYURT
www.tmoz.info
 |
Bu yorumun beslemesine abone olun
