Kirişler Dörtgeni

ï»¿

Kirişler Dörtgeni

Yazar Administrator

Kirişler Dörtgeni

Yıl 1995, aşağıdaki yazdığım soru ve o yıl yaşadığım olaylar üzerine böyle bir proje yazısı yazmaya karar vermiştim. Bu yazının yayınlandığı yıllarda böyle bir soru sorulamaz deniliyordu. Doğruluğu konusunda sizi dinleme ihtiyacı bile hissedilmiyordu. Soru yazarları çok iyi bilir; “Sorular Yıldızlar gibidir, bir devre damgasını vurur ve zamanla şaşalı günleri unutulur.”

Geometri matematiğin gölgesinde kalmış, ayrıntıları bilinmeyen ya da önemsenmeyen bir ders oldu. Oysa matematiğin ete kemiğe bürünmüş suretinden başka bir şey olmayan geometri keşfedildikçe matematikçinin vazgeçilmezi haline gelir. Geometri bilgisi eksik bir matematikçi matematiği anlayamaz ve anlatamaz anlattığını bildiğini sanır. Günümüzün matematik öğretmenleri daha bilinçli, sorgulayıcı ve araştırmacı, bu ülkemiz adına sevindirici…

Bu yazıda kirişler dörtgeni ile ilgili nasıl soru üretilebileceğine değineceğim. Öncelikle birkaç tespitimi birlikte inceleyelim;

Köşe Açı

Herhangi bir çokgenin, bir köşesini köşe kabul eden ve çokgenin diğer ardışık iki köşesinden geçen açıdır. Yandaki şekilde LKM açısı verilen beşgenin [LM] kenarını gören köşe açıdır.

Not: n kenarlı çokgenin n.(n-2) tane köşe açısı vardır.

Doğrusal olmayan üç nokta daima çemberseldir.

Üçü birden doğrusal olmayan üç noktadan geçen bir tek çember vardır. yani doğrusal olmayan üç nokta daima çemberseldir. Şekilde A,B,C doğrusal olmayan herhangi üç noktadır. Doğrusal olmayan üç noktayı köşe kabul eden bir üçgen mutlaka vardır ve her üçgenin mutlaka bir çevrel çemberi vardır.

* İki kenarı ortak olan tüm kirişler dörtgeninin çevrel çemberleri ortaktır.

* Aynı çember üzerinde bulunan noktalara çembersel noktalar denir.
Yarıçapları eşit olan çemberlere eş çemberler denir.

* Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.

* Uzunlukları eşit olan doğru parçalarına eş doğru parçaları denir

Bir doğru parçasını x° altında gören aynı bölgedeki açıların köşeleri çemberseldir.

Köşeleri düzlemin aynı bölgesinde olan [AB] doğru parçasını gören açıların ölçüleri eşitse bu açıların köşeleri çemberseldir.

m(AP₁B) = m(AP₂B) = m(AP₃B) = x° olduğu için P₁ , P₂ , P₃ , A ve B noktaları çemberseldir.

Herhangi bir P noktası için; m(APB) = x ise P noktası çemberin üzerindedir.

m(APB) < x ise P noktası çemberin dışındadır. m(APB) > x ise P noktası çemberin içindedir.

Teorem

|AB|=|AD| olmak üzere BAD ikizkenar üçgeni alınsın. A köşesinden [BD] kenarını dik kesmeyen rastgele [AX ışını alalım. Bu ışın üzerinde, mBAC=mACD eşitliğini sağlayan bir tek C noktası vardır. Üstelik bu nokta BAD ikizkenar üçgeninin çevrel çemberi üzerinde bulunur. Yani : ABCD dörtgeni kirişler dörtgenidir.

İspat

C noktasının tek olmadığını varsayalım, yani [AX ışını üzerinde C den farklı bir K noktası da m(BKA) = m(AKD) eşitliğini sağlayabilsin. (Bu durumda K noktası çevrel çember üzerinde olacaktır.)

İlk önce K noktasının çember dışında olduğunu varsayalım; BCDK dörtgeni m(BCA) = m(DCA), m(BKA) = m(DKA) olduğu için deltoid olur. Bu durumda da [AX ile [BC] birbirine dik olur ki hipotezle çelişir. Benzer şekilde K noktası çember içindeyken de BCDK dörtgeni deltoid olur ki yine aynı çelişki ile karşılaşırız.

ii)

Sonuç

Köşegenleri çizilmiş |AB|=|AD| ve m(BCA) = m(ACD) olan bir ABCD dörtgeninde;

i) Köşegenler dikse ABCD dörtgeni deltoidir.

ii) Köşegenler dik değilse ABCD dörtgeni kirişler dörtgenidir.

Uyarı

Yukarıdaki ifadeden hem kirişler dörtgeni hem de deltoid olan bir dörtgen olmaz, anlamı çıkarılamaz.

Teorem

Her ikizkenar yamuk aynı zamanda kirişler dörtgenidir.

İspat

m(A) = m(B) = x, m(D) = m(C) = y, [AB] // [DC] olduğundan x+y=180° dir.

O halde karşılıklı açıları bütünler olan dörtgenler kirişler dörtgeni olduğundan ABCD ikizkenar yamuğu aynı zamanda kirişler dörtgenidir.

Benzer Sonuçlar

i) Her dikdörtgen aynı zamanda kirişler dörtgenidir.

ii) Her kare aynı zamanda kirişler dörtgenidir.

iii) Dikdörtgen olmayan herhangi bir paralelkenar kirişler dörtgeni olamaz.

iV) İkizkenar olmayan herhangi bir yamuk kirişler dörtgeni olamaz.

Karşılıklı açıları bütünler olan dörtgenler kirişler dörtgeni olacağından yukarıdaki sonuçların doğruluğu kolayca görülür

Kirişler dörtgeni ile ilgili soru hazırlamak için kullanılabilecek şekillerden bazıları
1)	ABCD paralelkener ve \|AE\|=\|AD\| olacak şekilde DAE ikizkenar üçgen olarak verilirse ABCE dörtgeni kirişler dörtgeni olacaktır.
2)	mBAC=mBDC açıları eşit verilirse ABCD dörtgeni kirişler dörtgeni olacaktır.
3)	mABC=mACD , \|AB\|=\|AD\| olacak şekilde BAD ikizkenar üçgen ve AC ile BD köşegenlerinin dik olmadığı verilirse ABCD kirişler dörtgeni olacaktır.
4)	Açıortayı çizilmiş herhangi bir ABC üçgeni alalım; mBAD=mDAC=x ve mBDC= 90°- x verilirse IBDC kirişler dörtgeni olacaktır. ( I noktası, ABC üçgeninin iç açıortaylarının kesiştiği noktadır.)
5)	Bir ABC eşkenar üçgeninde mADC= 120° verilirse ABCD kirişler dörtgeni olacaktır. ( Aynı mantıkla karede 135 alınarak kirişler beşgeni elde edilir. Hatta bu mantık tüm düzgün çokgenler için geçerlidir.)
Yukarıda yalın olarak verdiğim soru hazırlama şekillerinden faydalanarak orijinal ya da çok zor sorular yazılabilmektedir. Örnekleri okuyucunun hayal gücüne bırakıyorum.