Homoteti (Eğrilerin Çarpılması veya merkezil benzerlik) ve Benzerlik eksenleri

ï»¿

Yazar Administrator

Homoteti (Eğrilerin Çarpılması veya merkezil benzerlik) ve Benzerlik eksenleri

1970 yıllarında lise kitaplarında anlatılan homoteti konusu lise müfredatından kaldırılmış. Olimpiyatlara hazırlanan öğrencilerin bu konuya göz atmalarında fayda olacağına inanıyorum.

Bir P noktasından, verilen bir (K) eğrisini A noktasında kesen bir doğru çizilir ve bu doğru bir A' noktasıyla

oranında bölünürse, A' noktasının geometrik yeri verilen (K) eğrisine benzer olan bir (K') eğrisidir. (benzerlik oranı k)

Bu iki eğriye birbirine benzer ve benzer konumludur veya kısaca homotetiktir denir. P ye homoteti merkezi, P den geçen doğrulara homoteti ışını denir. Aynı bir ışın üzerinde bulunan, eğrilerin Ai ve A'i noktalarına homolog noktalar denir. Homolog noktaları birleştiren doğrulara da homolog doğrular denir. Homoteti yerine merkezil benzerlik kullanıldığı da olmuştur.
* Bir doğru veya bir çemberin homotetiği bir doğru veya bir çemberdir.
* Bütün homolog doğrular birbirine paraleldir.
* Bütün homolog açılar birbirine eşittir.
* Bütün homolog doru parçalarının uzunluklarının oranı k dır. Şekiller k oranında birbirine benzerdir.

Merkezil Benzerlik ile ilgili önemli teoremler:
Teorem (Üç benzerlik merkezi teoremi) İkişer ikişer benzer olan üç şeklin benzerlik merkezleri (homoteti merkezleri) doğrusaldır. OİJ homoteti merkezi için İ şeklindeki bir noktayı J şeklinde karşılık gelen noktaya birleştiren ışın homoteti merkezinden geçer. (İ,J=1,2,3) Aynı mantıkla şekillerin her noktasını İ J sıralamasına göre birleştiren doğrular homoteti merkezinden geçer. Örneğin 1 ve 2. üçgenlerin ağırlık merkezinden geçen doğru, O 12 homoteti merkezinden geçer. Bu üç homoteti merkezini taşıyan doğruya üç şeklin benzerlik ekseni denir.
Sonuç 1: Eş olmayan farklı merkezli herhangi iki çember, merkezil benzerdir (homotetiktir). Bu iki çemberin 4 tane benzerlik ekseni vardır. M1, M2 merkezli ve r1, r2 yarıçaplı iki çemberin homoteti merkezlerinin ve homoteti eksenlerinin bulunuşu;. [A2A'2] // [M1A1] olmak üzere çemberlerin çapları alınır. A1A2 doğrusu ile merkezleri taşıyan doğrunun arakesiti O1 dış homoteti merkezidir. A'2A1 doğrusu ile merkezleri taşıyan doğrunun arakesiti O2 iç homoteti merkezidir. O1 homoteti merkezinden çemberlere çizilen ortak dış teğetler, O2 merkezinden çizilen ortak iç teğetler homoteti eksenleridir. Benzerlik oranı
Sonuç 2 : Herhangi ikisi eş olmayan üç çemberin merkezleri doğrusal değilse, ikişer ikişer alınan bu çemberlerin altı homoteti merkezi üçer üçer, dört doğru üzerinde bulunur. ( dört tane homoteti ekseni vardır) Sonuç 3 : Bir çeşitkenar üçgenin dış teğet çemberlerinin homoteti merkezleri doğrusaldır. * Bir üçgenin dış teğet çemberlerinin homoteti merkezleri, üçgenin kenar uzantıları üzerinde olduğuna dikkat ediniz.
Sonuç 4 : Çeşitkenar bir üçgenin iç açıortaylarının ayaklarını (kenarı kestiği noktaları) taşıyan doğrular, üçgenin dış teğet çemberlerin homoteti merkezlerinden geçer.
Soru : Çözüm:
Sonuç 5: Bir üçgenin dış teğet çemberlerinin homoteti merkezleri, üçgenin iç açıortay ayaklarını taşıyan doğru ile üçgenin kenar uzantılarının kesiştiği noktalardır. a kenar uzantısı üzerinde bulunan homoteti merkezini Ma, diğerlerini de Mb, Mc olarak isimlendirirsek, Homoteti merkezlerini taşıyan doğru (benzerlik ekseni), en küçük dış teğet çemberin merkezine yakın, en büyük dış teğet çemberin merkezine olacağı dikkate alınarak aşağıdaki eşitlikler yazılabilir. c<b<a olan bir ABC üçgenin dış teğet çemberlerinin merkezleri Oa, Ob, Oc , bu çemberlerin homoteti merkezleri Ma, Mb, Mc, açıortay ayakları Na, Nb, Nc olmak üzere;

Soru: X. Ulusal Matematik olimpiyat sorusu (Cevap 10)