|
Eşlik ve Benzerlik teoremi
AKA, KAK, KKK eşlik
teoremleri ve AA, KAK, KKK benzerlik teoremleri dışında başka bir eşlik ve
benzerlik teoremi var mıdır?
Büyük
olduğu bilinen kenarların karşısındaki açılar eş ise üçgenlerin eş olduğunu
söyleye biliriz.
4. Eşlik teoremi (BKA eşliği)
|AB| = |DE|, |AC| = |DF| ve |AB| < |AC| olmak üzere,  ise B C  E F dir.
İSPAT
Verilenlere göre, |BC| = |EF| olduğunu gösterirsek KKK eşliğine göre BAC üçgeni ile EDF
üçgeninin eş olduğunu göstermiş oluruz.
|BC| |EF|
olsa ya |BC|< |EF|
ya da |EF|< |BC|
olması gerekir. Şimdi bu iki durumun olmadığını gösterelim;
|EF| < |BC| olsa, [BC] üzerinde |BD’| = |EF| olacak şekilde bir
D' noktası bulunur. Bu durumda KKK eşliğine göre D'BA ile FED üçgenleri eş olacak
dolayısıyla |AD’| = |AC| olacaktır yani D'CA
ikizkenar üçgeninin taban açıları dar olacağından AD'B geniş açıdır. Bu durumda
B açısı da geniş olmak zorunda olacağından bir çelişki meydan gelir çünkü bir
üçgenin iki açısı birden geniş olamaz.
O halde |EF| < |BC| olamadığına göre
geriye |BC| < |EF| veya
|BC| = |EF| olma durumları
kalır.
|BC| < |EF| olsa [BC üzerinde |BD’| = |EF| olacak şekilde bir
D' noktası bulunur. Bu durumda KKK eşliğine göre D'BA ile FED üçgenleri eş
olacak dolayısıyla |AD'| = |AC| olacaktır yani D'AC ikizkenar üçgeninin taban açıları dar
olacağından ACB geniş açıdır. ABC üçgeninde küçük kenarın karşısına geniş açı
gelmiş olur ki bu da bir çelişkidir çünkü bir üçgenin iki açısı geniş olamaz.
Aynı şartlarda [CB üzerinde alınacak D' noktası zaten teorem verilerine uymaz.
O halde |BC| < |EF| ve |EF| < |BC| olması mümkün
olmadığına göre |BC| = |EF| olması gerekir. Bu durumda da KKK eşlik teoremi gereği BAC
ile DEF üçgenleri eştir.
Her
eşlik teoremine karşılık gelen bir benzerlik teoremi olduğuna göre BKA benzerlik
teoremi de olabilir.
Peki,
böyle bir teorem varsa nasıl ifade edilebilir ve ispatlanır?
4. Benzerlik teoremi
(BKA benzerliği)
 olmak üzere,
m( ) = m( ) ise BC  EF dir.
İSPAT İÇİN
YOL GÖSTERME
Diğer
benzerlik teoremlerinde olduğu gibi olmayana ergi metodu dediğimiz yöntemle
ispat yapmak mümkündür. Teoremde verilen orantının sabiti k olsa; k>1,
k<1 ve k=1 olması göz önünde tutularak 3 aşamada inceleme yapılmalıdır. 1.
aşamada küçük olan üçgen büyük olan üçgene taşınır ve temel orantı gösterilir.
2. aşamada küçük olan üçgenin kenar uzunluklarına büyük üçgen taşınır ve temel
orantı gösterilir. 3. aşama eşlik olduğundan zaten ispatını yukarıda yapmıştık.
Değerli
arkadaşlar, 4.
eşlik ve benzerlik teoremleri değişik biçimlerde de karşımıza gelebilir;
Örneğin yukarıdaki benzerlik teoreminde |DE| < |DF| şartı
yerine E geniş açı (veya dik açı) şartının verilmesi durumlarında da teoremimiz
doğru olacaktır. Teoremin ifadesini ve ispatını geometri severlere bırakıyorum.
Hayal
gücünüzü kullanarak bu proje ile ilgili güzel sorular yazabilirsiniz.
Eyüp Kamil
YEŞİLYURT
www.tmoz.info
 |
Bu yorumun beslemesine abone olun
