UZAY GEOMETRİSİ VE KATI CİSİMLER

ï»¿

Yazar kemal atar

UZAY GEOMETRİSİ VE KATI CİSİMLER

UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEMLERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI :

Tanımlar :

1) Uzay (IR) : Üç boyutlu sonsuz noktalar kümesidir.
2) Yüzey : İki uzayın arakesit bölgesidir. Bu arakesit bölgesi içinde alınan herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçası tamamen yüzeyin içinde kalıyorsa bu yüzeylere DÜZLEM (IR) denir.

- Düzlemi kesen herhangi bir doğruya EĞİK; doğrunun düzlemi kestiği noktaya EĞİK AYAĞI denir.
- Ayrı iki düzlemde bulunan ve kesişmeyen, birbirlerine paralel da olmayan doğrulara AYKIRI doğrular denir. Aynı düzlemde bulunan çakışık olmayan doğrular ise ya paraleldir ya bir noktada kesişirler.

3) Uzay ve düzlemde bir noktadan sonsuz tane doğru geçer.
4) Bir noktadan ¥ sonsuz tane düzlem geçer.
5) Farklı iki noktadan sadece bir doğru geçer.
6) Farklı İki noktadan veya bir doğrudan sonsuz ¥ tane düzlem geçer.

7) Bir düzlem uzayı iki bölgeye ayırır. Bu iki bölgede alınan iki noktayı birleştiren doğru veya eğri düzlemi deler.

Düzlemin Belirli Olması :

Doğrusal olmayan farklı 3 noktadan sadece bir düzlem geçer.

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu

Doğru ile Düzlemin Birbirine Göre Durumları :

İki Düzlemin Birbirine Göre Durumları :

Üç Düzlemin Arakesit Doğrularının Konumları :

Paralel Doğru ve Düzlemler :

Dik Doğru ve Düzlemler :

Uzaklık Teoremleri ve Tanımları :

İki Düzlemli Açılar ve Dik Düzlemler :

Düzlemde Dik İzdüşüm :

KATI CİSİMLER :

Düzgün Katı Cisimler :

A) Prizmalar
B) Piramitler
C) Küreler

A) Prizma :

Tanım : Birbirine paralel P ve Q düzlemlerinde bulunan birbirine eş iki çokgensel bölgenin tüm noktaları izdüşümleri ile karşılıklı birleştirilirse elde edilen cisim PRİZMA dır.
- Yan yüzeylerinin tümü dikdörtgen olan prizmalara dik prizma denir. Dik olmayan prizmalar Eğik prizmalardır. Yan yüzeyleri paralelkenardır .

- Prizmalar tabanlarına göre üçgen, kare vb. isim alırlar.
- Alt ve üst tabanların alanları eşittir.
- Taban bir enine kesittir ve tüm enine kesitler eştir.
- Dik prizmada dik kesit (Yanal ayrıtına dik olan bir düzlemin prizmadan ayırdığı bölge) aynı zamanda enine kesittir. Eğik prizmada dik kesit tabanlara eşit değildir.
- Tabanları paralelkenar olan prizmalara Paralel yüzlü denir.
- Tabanları düzgün çokgen olan dik prizmalara düzgün x gen prizma denir.

- Prizmada alt ve üst tabanın karşılıklı köşeleri birleştirilirse;
a) Yanal ayrıt b) Yan yüz köşegeni
c) Cisim köşegeni elde edilir.

AA' : Yanal ayrıt
AB' = Yanyüz köşegeni (Alan köşegeni)
AC' = Cisim köşegeni

I) Dik Prizma :

a) Toplam yanyüz alanı (Sy) : Çdikkesit (Dik kesit çevresi) . t (Yanal ayrıt uzunluğu)
= (Taban çevresi veya Eğik kesit çevresi) . t
Dik prizmada dik ve eğik kesitlerinin eş olduğunu söylemiştik.
Dik prizmada (Yanal ayrıt (t) = Yükseklik (h))
b) S = 2Staban + Sy
c) V = St . h
Çevretaban = Çeğik kesit = Çdik kesit

II) Eğik Prizma :

- Yan yüzler paralelkenardır.
- Dik kesit alanı ¹ (Enine kesit alanı = Taban alanı)
- Dik kesit çevresi ¹(Enine kesit çevresi = Taban çevresi)
- Yanal ayrıt (t) ¹Yükseklik (h)
a) Toplam yanal alan Sy = Çdikkesit . xt
(Dik kesit çevresinin paralelkenarların yüksekliklerinin toplamı olduğuna dikkat ediniz.)

b) S = 2St + Sy
c) V = St . h = SDik .xt
d) SDik = St . Sina
a = Ölçek açısı

Dikdörtgenler Prizması :

(Tüm yüzeyleri dikdörtgen olan dik prizmadır.)

a) Alan köşegeni =

b) Cisim köşegeni =

c) S = 2(ab + ac + bc)

d) V = a.b.c

Küp :

Tüm yüzeyleri kare olan dik prizmadır.

a) Taban köşegeni =

b) Cisim köşegeni =

c) Alanı = S = 6a

d) V = a

Silindir :

B) Piramit :

Bir düzlemdeki çokgen ile düzlem dışı bir noktanın eşleşmesi
ile oluşan cisimdir. Taban şekline göre adlandırılır.

I) Dik Piramit : Yüksekliği tabanın ağırlık merkezinden geçen piramittir. Yan yüzeyleri ikizkenar üçgenlerdir. (Tabandaki üçüncü kenarları farklı olduğu için birbirinden farklıdırlar.)

II) Düzgün Dik Piramit : Tabanı düzgün çokgen olan piramitlerdir. Yan yüzeyleri eş ikizkenar üçgenlerdir.

III) Düzgün Kesik Piramit : Bir piramit tabana paralel bir düzlemle kesilirse ortaya çıkan cisimdir. Yanal alanlar yamuktur.

IV) Düzgün Dörtyüzlü : Dört tane eşkenar üçgenin sınırladığı üçgen dik piramittir.
(G : Ağırlık merkezi)

V) Düzgün Sekiz Yüzlü :İki tane eş
düzgün kare dik piramidin (Yan yüzeyler
eşkenar üçgen) taban tabana oturması ile
oluşan cisimdir.

VI) Koni : Bir çemberin tüm noktalarının çember dışı bir K noktası ile birleştirilmesi neticesinde elde edilen cisimdir.
- Dik üçgen dik kenarlarından biri etrafında döndürülürse koni oluşur.
- Dik koninin eğik kesiti bir dairedir.

Dik Kesik Koni :

(Kesik piramid gibi düşünülmelidir.)

C) Küre :

Uzayda (R) sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesine denir. Kürenin merkezinden geçen bir düzlemle, kürenin kesişiminden oluşan çembere BÜYÜK ÇEMBER denir.