|
DOĞRUNUN
ANALİTİK İNCELENMESİ
1. Analitik Düzlem-Koordinat Sistemi :
a) İki reel sayı doğrusu, "0" referans sayıları birbirleriyle çakışacak
şekilde birbirlerine dik kesiştirilirse ortaya DİK KOORDİNAT SİSTEMİ
çıkar. Bu doğrulardan biri (yatay olanı) x eksenini (APSİS EKSENİ); diğeri
(düşey olanı) y eksenini (ORDİNAT EKSENİNİ) oluşturur.
İki tek boyutun (R) çakışması ile R yani çift boyutlu ANALİTİK DÜZLEM ortaya çıkar.
R=RxR={(x,y)|x ÎRLy Î R}
Bu sistemde bir noktanın koordinatı (yeri) 2 bileşenle (sıralı ikili)
tespit edilir.
- x bileşeni (yatay bileşen-APSİS)
- y bileşeni (dikey bileşen-ORDİNAT)
Bu 2 bileşen noktanın KOORDİNATLARIDIR.
c)
R de bir nokta ya eksenler üzerinde (x veya
y) ya da 4 bölgede bulunabilir:
Kısaca şöyle gösteririz:
2) R de iki nokta arası uzaklık:
Düzlemde
A(x1 , y1) ve B(x2 , y2) noktaları arası uzaklık ([AB] doğru parçasının uzunluğu) ABC dik üçgeninde
PİSAGOR'dan:
3) Bir
doğru parçasının orta noktasının koordinatları :
Şekle göre oluşan dik yamukların ortak tabanlarını bulursak :
4) Bir
doğru parçasını belli bir oranda bölen noktanın koordinatları:
I) k<0 ise C noktası [AB] yi içten böler
II) k>0 ise, C noktası [AB] yi dıştan böler
III) k=-1 ise C noktası orta noktadır.
5) Bir A(x,y) noktasının simetrikleri:
a) Orjine göre simetri:
(Orjini orta nokta olarak düşününüz!)
b) x eksenine (y=0 doğrusu) göre simetri:
((x,0) noktasını orta nokta alınız, veya y=0 doğrusuna göre simetri
alınız.)
c) y eksenine (x=0 doğrusu) göre simetri:
((0,y) noktasını orta nokta alınız, veya x=0 doğrusuna göre simetri
alınız.)
d) y=x doğrusuna göre (1. açıortay) simetri:
İspat:
OAA' üçgeni ikizkenardır.
q+a=45
|HO|=|H'O|=x
|AH|=|A'H'|=y
A(y,x) olur.
e) y = -x doğrusuna (2. açıortay) göre simetri:
f) A(x,y) noktasının B(xb,
yb) noktasına
göre simetriği:
(B noktasının orta nokta olduğuna dikkat ediniz!)
g) x=a doğrusuna göre simetri:
A'(2a-x, y)
((a,y) noktasının orta olduğuna dikkat ediniz!)
h) y=b doğrusuna göre simetri:
((x,b) nin orta nokta olduğuna dikkat ediniz!)
Not: f(x,y)=0 denklemi ile verilen herhangi bir eğrinin (doğru,
parabol vb. eğriler) simetrilerinde, anlattığımız kurallar uygulanır.
Çünkü tüm f(x,y)=0 eğrileri A(x,y) gibi ¥ tane
noktadan oluşmuştur. Her bir nokta verdiğimiz simetri kurallarını sağlayacağından
eğride genel simetri kurallarına uymak zorundadır.
6.
ABCD dörtgeni bir paralelkenar ise karşılıklı köşelerinin apsisleri
toplamı birbirine; ordinatları toplamı birbirine eşittir.
(İspatı orta nokta koordinatlarından yapabilirsiniz!)
7.
Bir ABC üçgeninin ağırlık merkezi olan G nin koordinatları:
İspat: G, [AD]yi 2:1 oranında içten bölen noktadır.
8. Yukarıdaki ABC üçgeninin alanı:
Determinant açılımından;
Eğer S=0 ise A, B, C noktaları lineerdir. (Doğrusal)
Alan formülü ispatı:
=A(AA'B'B) + A(AA'C'C) - A(BB'C'C) tan ispatlanabilir.
9) Bir doğrunun eğim açısı ve eğimi:
- Doğrunun en önemli özelliği, eğiminin her yerinde sabit olmasıdır
ki, formüller bu özellikten yararlanılarak çıkartılabilir.
- Eğim doğrunun +x ekseni ile yaptığı açının tanjant değeridir.
- Genelde m harfi ile gösterilir.
İki noktası bilinen doğrunun eğimi:
- Bütünler iki açının tg'ları birbirlerinin zıt işaretlisi olduğundan:
tga=-tgb
- Paralel doğruların eğimleri eşittir.
- Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı (-1) dir.
- Sık kullanılan bazı açıların tg değerlerini verelim:
10) İki doğru arası açı:
* İki doğru paralel ise eğimleri eşittir.
(Aralarındaki açı 0° dir. tg0°=0)
* İki doğru dik ise eğimleri çarpımı (-1) dir.
(Aralarındaki açı 90°, tg 90°= tanımsız)
11) Doğru
Denklemleri:
a) 2 noktası bilinen doğru denklemi:
A ve B bilinen noktalar ve D ise doğruya ait tüm noktaları simgeleyen
değişken bir nokta olsun.
Eğimin sabit oluş özelliğini kullanarak;
b) Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi:
D noktası doğruya ait değişken noktalar olsun;
 
c) Eksenleri kestiği noktalar bilinen doğrunun denklemi:
12) Doğrunun
yazım şekilleri:
Doğrular genelde iki türlü yazılır:
a)
y=mx+n şeklinde genel denklem
Doğrunun eğimi
b)
ax+by+c=0 şeklinde kapalı denklem
Buradan;
by=-ax-c
y= m . x + n olduğuna göre ;
c) Parametrik denklemler:
x=f(t)
y=g(t) şeklinde üçüncü bir "t" parametresi
x ve y' yi şartlandırmışsa "t" yok edilerek x ve y birbirine bağlı
olarak yazılır.
Örnek:
x=f(m)=2m-1
y=h(m)=-4m+5
parametrik denklemleri ile ifade edilen doğrunun genel denklemi
nedir?
2/x=2m-1
y=-4m+5
+
2x+y=3
y = -2x+3
13) 2 doğrunun birbirine göre durumları:
2 doğru denklemi verilsin. Bu denklemlerin iki bilinmeyenli (x,y)
birinci derece denklemler olduğunu ve çözüm kümelerini bulma işleminin,
doğruların birbirlerine göre durumlarını bulma işlemi ile aynı olduğunu
görebilirsiniz.
I. 
ise
iki doğru çakışıktır-aynıdır- (d1=k.d2) - doğrular ¥
noktada kesişirler veya iki denklemin çözüm kümeleri ¥ elemanlıdır.
ÇK= R
II.
Doğrular paraleldir-kesişmezler- ortak çözümleri yoktur
veya denklemin ortak çözümü yoktur.
ÇK=Ø
d1
III. A(x,y)
 
Ortak nokta
- Doğrular bir noktada kesişirler. Denklemin çözüm kümesi bir tek
sıralı ikilidir.
ÇK={A}
- Bu noktayı bulmak için denklemlerde evvela x veya y yok edilerek
diğeri bulunur. Sonra bulunan, herhangi bir denklemde yerine konulur
ve sıralı ikili bulunmuş olur.
14. Bir noktanın, doğruya uzaklığı:
15. İki
doğrunun (paralel) birbirine uzaklığı:
2. yol: Doğrulardan herhangi birisi üzerinde rastgele alına
A(xo,yo)
noktasının diğer doğruya uzaklığı:
16. Doğru
demeti:
Bir noktadan geçen
¥ tane
doğruya doğru demeti denir.
17. İki
doğrunun açıortay denklemleri:
Formül çıkarılışının şu temel kurala dayalı olduğunu görebilirsiniz:
AÇIORTAY ÜZERİNDEKİ HERHANGİ BİR A(x,y) NOKTASININ AÇININ KOLLARINA
OLAN UZAKLIKLARI BİRBİRİNE EŞİTTİR.
18.
Paralel d1
ve d2
doğruları arasında kalan d3'ün denklemi;
d3:d1
ve d2 ye eşit
uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.
19. Eşitsizlikler:
1. yol: Doğrunun grafiği çizilir. Doğrunun üzerinde olmayan herhangi
bir nokta alınır(Genelde kolaylık sağlaması için orjin O(0,0) alınır.)
Bu nokta eşitsizlikte yerine konulur. Eşitsizlik gerçekleşiyorsa noktanın
bulunduğu kısım; değilse diğer kısım taranır.
2. yol: y=mx+n doğrusu çizilir. y>mx+n hallerinde grafiğin üst kısmı;
y
 |
Bu yorumun beslemesine abone olun
