ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Şekillerin ve cisimlerin formülleri, ait oldukları şeyin en önemli özelliklerine dayanarak çıkartılırlar. Mesela doğrunun en önemli özelliği EĞİMİN SABİT OLMASIDIR.

Doğru üzerinde bilinen iki nokta (A ve B) ve doğrudaki tüm
noktaları temsil eden bir nokta (D) alalım.
[AB] nin eğimi ile [AD] veya [BD] nin eğimleri aynıdır.

(1) ile (2) yi veya (1) ile (3) ü alıp eşitlersek :

Aynı şekilde çemberin denklemi de en önemli özelliği olan yarıçapının sabit olmasından çıkar. |R'de (Düzlemde) merkezi M (a,b) noktası olan bir çemberin denklemi, çemberin tüm noktalarını temsil eden Ç(x,y) ile M(a,b) arasındaki uzaklığın daima yarıçapa (r) eşit olması gerçeğinden iki nokta arası uzaklık formülü ile bulunur.

x + y -2a x -2b y + a + b -r = 0
              I        I          I

             D      E        F

X + y + Dx + Ey + F = 0 çemberin 2. Tip denklemi ( kapalı denklem ) elde edilir.

I. D + E - 4F > 0 ise r > 0 olacağından M(a,b) olan çember belirir.
II. D + E - 4F = 0 ise r = 0 olacağından M(a,b) noktası belirir.
III. D + E - 4F < 0 ise r < 0 olacağından Ø belirir.

I. YARIM ÇEMBER DENKLEMLERİ :

II. GENEL KONİK DENKLEMİNDE ÇEMBER :

Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0
Genel konik denklemidir.

a) Önceki ispatlarımızdan da gördük ki, çember denkleminde x ye y nin katsayıları 1'dir. Bir eğrinin denklemini k ile çarpmakla (k¹0) eğrinin özellikleri değişmediğinden A = C = k olmalıdır. Çemberin merkez koordinatlarını ve yarıçapını bulmak için k parantezine alınarak A = C = 1 haline getirilir ve işlem bu halde yapılır.

b) Çember denkleminde x.y li terim olmadığını gördük. o halde B = 0 olmalıdır.

c) D = D +E - 4F > 0 olmalıdır ki ; r > 0 olsun

lll. ÖZEL ÇEMBERLER:

a) Merkezcil çember: Merkezi orjin (0(0,0)) olan çemberdir.

Denklemi: x+y =r dir.

b) Merkezi ox = x ekseninde olan çember:
Merkezi: M(a, 0) dır.
Denklemi: (x - a) + y = r dir.
Kapalı denklemi ise:

x + y + Dx + F=0, E = 0

c) Merkezi oy = y ekseninde olan çember:
Merkezi: M(0, b) dir.
Denklemi: x + (y - b) = r dir.
Kapalı denklemi ise:

x + y + Ey + F = 0, D = 0

d) Bir noktası orjin (O(0, 0)) olan çember:
O(0, 0) denklemi sağlar.

(x - a) + (y - b) = r
(0 - a) + (0 - b) = r
a2 + b = r
F = a + b - r dir.
F = 0 olur.
Sabit sayı bulunmaz.

X+y+Dx+Ey=0, F=0

e) x eksenine teğet olan çember:

r = |b| b = ±r dir.

Dolayısı ile merkez
M(a, b) = M(a, r) = M(a, -r)
x + y + Dx + Ey + a + b - r = 0

x + y + Dx + Ey + a = 0

F = a olur.

f) y eksenine teğet olan çember:

r = |a| ve a = ±r dir.
M(a, b) = M(r, b) = M(-r, b)
x + y + Dx + Ey + a + b - r = 0
x + y + Dx + Ey + b = 0
F = b olur.

g) Her iki eksene teğet olan çemberler:

r = |a| = |b|
(x ± r) + (y ± r) = r

Merkezleri l. ve ll. açıortay doğruları üzerindedir.

lV. DOĞRU İLE ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI:

a) Ortak noktaları yoktur (Ayrıklık hâli):

Doğru denklemi (y = mx + n), çember denkleminde
((x - a) + (y - b) = r) yerine konulursa:
(x - a) + (mx + n - b) = r
ikinci derece denkleminde D bulunur.
D < 0 ise ayrıktırlar.

Not: x + y = r merkezcil çemberini özel olarak alırsak,
y = mx + n ile kıyaslamak için x + (mx + n) = r denklemini düzenleyelim:
x (1 + m) + 2mnx + n - r =0
D = b - 4ac = (2mn) - 4(1 + m) (n - r)
D = 4 (r (1 + m) - n)
+4 işareti etkilemeyeceğinden

D =r (1 + m ) - n alınabilir.

Not: Merkezcil çembere y = mx + n doğrusunun teğet olduğu nokta:

b) Doğru çembere teğet ise (Bir tane ortak nokta):

 D = 0 dır.

c) İki noktada keşisiyorlar ise:

 D > 0 dır.

V. ÇEMBERE ÜZERİNDEKİ BİR NOKTADAN ÇİZİLEN TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ:

(x - a) + (y - b) = r

çemberine üzerindeki 

 den çizilen teğet ve normal denklemlerini bulalım:

Teğet ^ Normal ise M_T. M_N = -1

1. yöntem: M(a, b) ve 

 noktalarından geçtiği için Normal doğrusunun denklemi "İki noktası bilinen doğrunun denklemi ile" yazılır.

Teğetin denklemi de "Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi ile" yazılır.

Not: Soruda normal denklemi soruluyorsa veya başka formül ezberlenmek istenmiyorsa bu en kolay yöntemdir.

2. yöntem: (x - a) + (y - b) = r

çemberinin Ç(x₁ y₁) deki teğeti

x + y + Dx + Ey + F = 0
çemberinin Ç(x₁ y₁) deki teğeti:

Teğet denklemi yazıldıktan sonra normal denklemi de yazılır.

3. yöntem: Bir eğrinin bir noktadaki teğetinin eğimi Türev fonksiyonunun o noktadaki değeridir. (Kapalı fonksiyonun türevinden)

Vl. TEĞET - TEĞET ALTI - NORMAL UZUNLUKLARI:

Vlll. BİR NOKTA İLE ÇEMBERİN DURUMU VE NOKTANIN ÇEMBERE GÖRE KUVVETİ:

a) Nokta çemberin dışındadır:

P = |NT| = |NT'|
|MN| > r
|MN| > r olur.
(x₁ - a) + (y1 - b) > r
(x₁ - a) + (y1 - b)² - r > 0
                 

            Noktanın kuvveti (P)
                      P > 0

b) Nokta çemberin üzerindedir:
|MN| = r
(x₁ - a) + (y1 - b) = r
(x₁ - a) + (y1 - b) - r = 0
                      

                    Kuvvet P = 0 olur.

c) Nokta çemberin içinde ise:

|MN| < R
(x1 - a) + (y1 - b) < r
(x1 - a) + (y1 - b) - r < 0
                      

                    Kuvvet P < 0 olur.

x + y + Dx + Ey + F = 0
tipindeki yazılış için kuvvet

P = - |AN| . |NB| = - |CN| . |ND|

Kuvvet = P = (Nokta-merkez uzaklığı) - r

(Nokta nerde olursa olsun)

P = |MN| - r < 0

VIII. ÇEMBERİN DOĞRUYA EN YAKIN VE EN UZAK NOKTASI:

U noktası doğruya en uzak noktadır.
|UH| = |MH| + r
Y noktası doğruya en yakın noktadır.
|YH| = |MH| - r

IX. İKİ EĞRİ ARASINDAKİ AÇI:

İki eğrinin kesim noktalarındaki teğetleri arasında kalan açıdır.

X. DİK KESİŞEN ÇEMBERLER:

Kesişme noktalarından ve diğer çemberin merkezinden geçen teğetleri arasındaki açı 90° olan iki çemberdir.

XI. ÇEMBER DEMETİ:

Denklemleri bilinen iki çemberin (Ç1 ve Ç2) kesim noktalarından geçen sonsuz çemberin denklemidir.

Ç1 + lÇ2 = 0

XII. KUVVET EKSENİ:

İki çembere göre aynı kuvvette bulunan noktaların geometrik yeridir.

Kuvvet eksenini bulmak için her iki çemberdeki x2 ve y2 ler yok edilir. Kalan doğru denklemi kuvvet ekseni denklemidir.

XIII. ÇEMBERİN PARAMETRİK DENKLEMİ:

x = a + r . Cosq
y = b + r . Sinq

Not: Cosq ve Sinq x veya y'de bulunabilir.

Yorumlar (0)

Bu yorumun beslemesine abone olun

İsim

E-posta

Website

Başlık

Yorum

daha küçük | daha büyük

E-posta ile takip (sadece kayıtlı kullanıcılar)

Okudum ve kabul ediyorum Kullanım şartları.

Yorum Ekle