ÜÇGENLERDE BENZERLİK

ï»¿

Yazar Administrator

ÜÇGENLERDE BENZERLİK

1. Benzer Üçgenler

Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

ABC ve DEF üçgenleri için;

oranı yazılır

Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve

ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.

eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik

katsayısı denir.

k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.

ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

2. Açı - Açı Benzerlik Teoremi

Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.

şekilde verilen üçgenlerde

İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.

m(C)=m(F)

3. Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.

ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.

BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.

4. Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.

Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.

m(A) = m(D),

m(B) = m(E),

m(C) = m(F)

5. Temel Benzerlik Teoremi

ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eş

olacağından ADE ~ ABC dir.

Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]

|AK|=2|KB|

|AL|=2|LC|

6. Tales Teoremi

Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda

bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için

Buradan de elde edilir

[AB] // [DE] ise oluşan içters açıların eşitliğinden,

ABC ~ EDC olur. Buradan,

eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.

7. Benzerlik Özellikleri

Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.


ABC ~ DEF Û

Burada k ya benzerlik oranı denir.

a. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.

b. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

c. Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir.

e. ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı r_ABCve çevrel çemberin yarıçapı R_ABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı r_DEF ve çevrel çemberin yarıçapı R_DEF olsun.

f. Alanlar oranı

Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

g. Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.

Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 � gibi tek sayılarla orantılı olarak artar.

[AB] // [EF] // [DC] benzerlik özelliklerinden,

|AB|.|FC|=|DC|.|BF|

8. Özel Teoremler

a. Menelaüs

ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise

b. Seva

ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için,

Favori olarak işaretleyin

Favorilerinize ekleyin

Bunu e-posta ile gönder

Okuma: 100547

Yorumlar (14) Add Comment

Bu yorumun beslemesine abone olun

...
yazar eren çinpolat, Aralık 24, 2008

yha çok saol sayende iyi not aldım bu kadar zamandır neden acaba hiçç mesaj yazmamışlar

...
yazar BsKnErDaL, Ocak 20, 2009

bu ne yhaa menelaüs ve seva teoremlerının formullerı yanlıs verılmıs.carpımlarının sonucu 1 e eşit olmalı.

.....
yazar hüseyinn, Ocak 31, 2009

teşekkür ederm dönem ödevimdi umarım iyi bir not alırım

http://geometri.us/geometri-de...erlik.html
yazar vahshe, Ocak 31, 2009

ya eminmisin yukardaki formuller yanlis mi acaba varya yanlissa yandik dandik bi geo cumuz var kari takar kafayi bana yaa adam gibi bilgi verin bu ne yaa seva menalaus biras daha acn soru fln cozun beee allah rizasi icin...