PİRAMİT, KONİ, KÜRE

ï»¿

PİRAMİT, KONİ, KÜRE

Yazar Administrator

PİRAMİT, KONİ, KÜRE

PİRAMİTLER

Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir.

T noktası piramidin tepe noktasıdır. Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır. Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır. Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur.

|TH| = h biçiminde yazılır. [TA], [TB], [TC]� piramidin yanal ayrıtlarıdır.

Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır.

1.Kare Piramit

Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur.

İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir.

|PH| = h piramidin yüksekliğidir.

Yan yüz yüksekliği |PK| dır.

Tabanının bir kenarına a dersek

Buradan yan yüz yüksekliği

|PK|² = h² + ( )² olur.

Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir.

2. Eşkenar Üçgen Piramit

Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.

Taban Alanı

olduğundan

3. Düzgün Dörtyüzlü

Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir. Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner.

Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün

Yarı yüz yüksekliği		ve
Cisim yüksekliği		olur

Buradan

4. Düzgün Sekizyüzlü

Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar

üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir.

Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği olur.

Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu

düşünürsek piramitlerin yüksekliği;

olur.

Piramitin hacmi olduğundan;

Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan

5. Düzgün Altıgen Piramit

Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir.

Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.

KONİ

Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir.

Taban alanı =

olduğundan

bulunur. Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur.

KONİ

Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir.

Burada;

Taban yarıçapı |OB| = r

Cisim yüksekliği |PO| = h olur.

|PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru denir.

POB dik üçgeninde,

h² + r² = l² bağıntısı vardır.

Koninin yanal alanı bir daire dilimidir.

Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır. Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan,

Yanal alan= pr2+prl

Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir.

Tüm alan = �r2 + �rl

Daire diliminin merkez açısına a dersek

oranı elde ederiz.

Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir.

Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilir.şekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile |BC| yarıçaplı ve yüksekliği |AB| olan koni elde edilir.

Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır.

[O₁B] // [O₂D] olduğundan

benzerliği vardır.

Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı dir. Alanları

oranı benzerlik oranının

karesi olduğundan, alanlar oranı olur. Hacimler oranı

ise benzerlik oranının küpüdür. r₁ yarıçaplı küçük koninin hacmine V₁, r₂ yarıçaplı büyük koninin hacmine V₂ dersek

KÜRE

Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir.

O merkezli R yarıçaplı kürede;

Yüzey alanı

1. Küre Dilimi

[KL] çap

m(AOB) = a

şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi

2. Küre Kapağı

Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür.

Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir. Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek

|OP|²+ r²= R²

eşitliği vardır. h = R -|OP|

Küre kapağının alanı= 2pRh

Yandaki şekildeki gibi olan

Küre parçasının haçmi

DİK PRİZMALARIN ALAN ve HACİMLERİ

Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir.

Prizmalarda yan yüzeyleri birleştiren ayrıtlara yanal ayrıt denir.

[AA'], [BB'], [CC'], [DD']

yanal ayrıtlardır.

Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yüksekliğine eşittir.

Cismin yüksekliğine h dersek

h = |AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| olur.

Prizmanın Hacmi

Hacim=Taban Alanı x Yükseklik

Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa olsun, yanal yüzeyi daima bir dikdörtgen olur. Yanal yüzü oluşturan dikdörtgenin alt kenarı tabanın çevresi kadardır. Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar olur.

Yanal Alan = Taban çevresi x Yükseklik

Bütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır.

Tüm Alan = Yanal Alan + 2. Taban Alanı

1. Dikdörtgenler Prizması

Dikdörtgenler prizması yan yüzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdörtgenden oluşan prizmadır. Burada hacim, taban alanı olan (a.b) ile yükseklik olan (c) nin çarpımıdır. Alan ise (a.b), (b.c) ve (a.c) yüzey alanlarının ikişer katlarının toplamıdır. Dikdörtgenler prizmasında birbirine en uzak iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.

Cisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer. Yüzeylerinden geçmez. Sadece bir yüzeyden geçen köşegene o yüze ait yüzey köşegeni denir. Burada köşegenlerin uzunlukları

|AC'| = |A'C| = |BD'| = |B'D| = e (cisim köşegeni)

|BD| = f (Yüzey köşegeni) olsun. Bu durumda

Hacim = a.b.c

Alan =2(ab+bc+ac)

Alan = 2 (ab + bc + ac)

Cisim Köşegeni: e =Öa² + b² + c²

Yüzey Köşegeni: f = Öa² + b²

2. Kare Prizma

Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir. Yan yüzü dört adet eş dikdörtgenden oluşur.

Hacim = a² . h

Yanal Alan = 4 . a . h

Alan = 4.ah + 2.a²

Cisim köşegeni : e = Öa² + a² + h²

3. Küp

Bütün ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya küp denir. Tüm yüzeyleri kare dir.

Hacim = a³

Alan = 6a²

Kübün yüzey köşegenleri birbirine eşittir.

Yüzey köşegeni: f = aÖ2

Cisim köşegeni: e = aÖ3

4. Üçgen Prizmalar

Prizmalar tabanlarının şekline göre isim aldıklarından tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir.

Üçgen prizmalar tabanını oluşturan üçgene göre isimlenir.

a. Eşkenar Üçgen Prizma

Eşkenar üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane eş dikdörtgenden oluşur.Tabanı eşkenar üçgen olduğundan

Tabanı eşkenar üçgen olduğundan

Taban alanı
Hacim

Taban çevresi 3a olduğundan, yanal alan 3a.h dır.

Buradan tüm alanı

Tüm alan

b. Dik Üçgen Prizma

Dik üçgen prizmanın tabanı dik üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane dikdörtgenden oluşur.

Tabanı dik üçgen olduğundan

Taban alanı =
Hacim

Taban çevresi a + b + c olduğundan,

Yanal alan = (a + b + c) . h

Tüm Alan = b . c + (a + b + c) . h

5. Silindir

Tabanı daire olan prizmalara silindir denir. Silindirin yan yüzü dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi kadardır.

Taban alanı= pr²

Hacim= pr²h

Taban çevresi 2pr olduğundan yanal alan 2prh olur.

Tüm alan = 2prh+ 2pr

Bir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında döndürüldüğünde silindir elde edilir.

6. Düzgün Çokgen Prizmalar

Tabanı düzgün çokgenlerden oluşan prizmalara düzgün çokgen prizmalar deriz. Taban ayrıtları birbirine eşittir. Diğer dik prizmalarda olduğu gibi düzgün çokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yüksekliktir.

Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsun, hacmin taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ve yanal alanın ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımı olduğunu unutmayalım.

EĞİK PRİZMALAR

1. Eğik Kare Prizma

Tabanı, bir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yöne doğru taban düzlemi ile a açısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir.

Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek,

Prizmanın yüksekliği h =l .sin a olur.

Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde oluşan kesitine dik kesit denir. Eğik kare prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen, diğer iki yan yüzeyi ise paralelkenardır.

Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban kenarı a kadar, diğeri ise,

a'=a.sin a kadardır.

Buradan;

Dik Kesit Alanı = Taban Alanı x Sin a

Dik kesit çevresi = 2a +2a.sin a

Eğik prizmaların yanal alanlarının toplamı

Yanal alan= Dik kesit çevresi x Yanal Ayrıt

bağıntısı ile bulunur. Alt ve üst tabanlar ilave edildiğinde tüm alan bulunmuş olur. Bütün prizmalarda olduğu gibi eğik prizmalarda da hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile bulunur.

Hacim = Taban Alanı x Yükseklik

Ayrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımı ile de hacim bulunabilir.

Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt

2. Eğik Silindir

|AA'| = |BB'| = l

Yanal ayrıtı l olan ve taban düzlemi ile a açısı yapan eğik silindirde yükseklik,

h=l.sin a

Dik Kesit Alanı=Taban Alanı x Sin a

Eğik silindirin yan yüz alanı, dik kesit çevresi ile yanal ayrıtının çarpımıdır. Bütün eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de de hacim, dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımına eşittir.

Hacim = Taban Alanı x Yükseklik

Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt

Yanal Alan = Dik Kesit Çevresi x Yanal Ayrıt

Favori olarak işaretleyin

Favorilerinize ekleyin

Bunu e-posta ile gönder

Okuma: 100036

Yorumlar (1) Add Comment